Интегральный признак сходимости: если функция f (х) определена при всех х ³ 1, неотрицательна и убывает, то Р.

     (7)

сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл

.

С помощью этого признака легко устанавливается, что Р.

     (8)

сходится при a > 1 и расходится при a £ 1.

  Признак сравнения: если для двух Р. (1) и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная с > 0, что 0 £ u_n  £ c u_n, то из сходимости Р. (6) следует сходимость Р. (1), а из расходимости Р. (1) — расходимость Р. (6). Обычно для сравнения берётся Р. (8), а в заданном Р. выделяется главная часть вида А/n ^a. Таким методом сразу получается, что Р. с n-м членом

,

где

сходится, поскольку сходится Р.

.

  Как следствие признака сравнения получается следующее правило: если

то при a > 1 и 0 £ k < + ¥ Р. сходится, а при a £ 1 и 0 < k £ + ¥ Р. расходится. Так, например, Р. с n-м членом u_n = sin (1/n ²) сходится, ибо

 (a = 2)

a Р. с u_n = tg (p/n) расходится, здесь

  (a = 1)

  Часто оказываются полезными два следствия признака сравнения. Признак Д'Аламбера: если существует

 (u_n > 0), то при l < 1 P. (1) сходится, а при l > 1 — расходится; и признак Коши: если существует   (u_n ³ 0), то при l < 1 P. (1) сходится, а при l > 1 P. расходится. При I = 1 как в случае признака Д'Аламбера, так и в случае признака Коши существуют и сходящиеся и расходящиеся Р.

  Важный класс Р. составляют абсолютно сходящиеся ряды: Р. (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится Р.

.

  Если Р. абсолютно сходится, то он и просто сходится. Р.

абсолютно сходится, а Р.

сходится, но не абсолютно. Сумма абсолютно сходящихся Р. и произведение абсолютно сходящегося Р. на число являются также абсолютно сходящимися Р. На абсолютно сходящиеся Р. наиболее полно переносятся свойства конечных сумм. Пусть

     (9)

— P., составленный из тех же членов, что и Р. (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Если Р. (1) сходится абсолютно, то Р. (9) также сходится и имеет ту же сумму, что и Р. (1). Если Р. (1) и Р. (6) абсолютно сходятся, то Р., полученный из всевозможных попарных произведений u_mu_n членов этих Р., расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится, причём если сумма этого Р. равна s, а суммы Р. (1) и (6) равны соответственно s₁ и s₂, то s = s₁s₂, т. е. абсолютно сходящиеся Р. можно почленно перемножать, не заботясь о порядке членов. Признаки сходимости для Р. с неотрицательными членами применимы для установления абсолютной сходимости рядов.

  Для Р., не абсолютно сходящихся (такие Р. называют также условно сходящимися), утверждение о независимости их суммы от порядка слагаемых неверно. Справедлива теорема Римана: посредством надлежащего изменения порядка членов данного не абсолютно сходящегося Р. можно получить Р., имеющий наперёд заданную сумму, или расходящийся Р. Примером условно сходящегося Р. может служить Р.

.

Если в этом Р. переставить члены так, чтобы за двумя положительными следовал один отрицательный:

,

то его сумма увеличится в 1,5 раза. Существуют признаки сходимости, применимые к не абсолютно сходящимся Р. Например, признак Лейбница: если

, ,

то знакочередующийся Р.

     (10)

сходится. Более общие признаки можно получить, например, с помощью преобразования Абеля для Р., представимых в виде

.     (11)

Признак Абеля: если последовательность {a_n} монотонна и ограничена, а Р.

сходится, то Р. (11) также сходится. Признак Дирихле: если последовательность {a_n} монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм Р.

ограничена, то Р. (11) сходится. Например, по признаку Дирихле Р.

сходится при всех действительных a.

  Иногда рассматриваются Р. вида

.

  Такой Р. называется сходящимся, если сходятся Р.

 и

сумма этих Р. называется суммой исходного Р.

  Р. более сложной структуры являются кратные ряды, т. е. Р. вида

,

где

 — заданные числа (вообще говоря, комплексные), занумерованные k индексами, n₁, n₂,..., n_k, каждый из которых независимо от других пробегает натуральный ряд чисел. Простейшие из Р. этого типа — двойные ряды.

  Для некоторых числовых Р. удаётся получить простые формулы для величины или оценки их остатка, что весьма важно, например, при оценке точности вычислений, проводимых с помощью Р. Например, для суммы геометрической прогрессии (2)

r_n = qⁿ⁺¹/(1 - q), ½q½< 1,

для P. (7) при сделанных предположениях

,

а для P. (10)

½r_n½ £ u_n+1

С помощью некоторых специальных преобразований иногда удаётся «улучшить» сходимость сходящегося Р. В математике используются не только сходящиеся Р., но и расходящиеся. Для последних вводятся более общие понятия суммы Р. (см. Суммирование рядов и интегралов). Так, например, расходящийся Р. (5) можно просуммировать определённым способом к ¹/₂.