Открытым покрытием топологического пространства Х называют семейство его открытых множеств, объединением которого является всё X . Топологическое пространство Х называют компактным (в другой терминологии —бикомпактным), если любое его открытое покрытие содержит конечное число элементов, также образующих покрытие. Классическая теорема Гейне — Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество

 компактно. Оказывается, что все основные теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (например, теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологических пространств. Это определяет фундаментальную роль, которую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений обшей Т., имеющих общематематическое значение.

  Открытое покрытие {V_b } называют вписанным в покрытие {U_a }, если для любого b существует a такое, что V_b Ì U_a. Покрытие {V_b } называют локально конечным, если каждая точка х Î Х обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия. Топологическое пространство называют паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Класс паракомпактных пространств является примером классов топологических пространств, получающихся наложением так называемых условий типа компактности. Этот класс очень широк, в частности он содержит все метризуемые топологические пространства, то есть пространства X , в которых можно ввести такую метрику r, что Т., порожденная r в X, совпадает с Т., заданной в X .

  Кратностью открытого покрытия называют наибольшее число k такое, что найдётся k его элементов, имеющих непустое пересечение. Наименьшее число n, обладающее тем свойством, что в любое конечное открытое покрытие топологического пространства Х можно вписать открытое покрытие кратности £n + 1, обозначается символом dimХ и называется размерностью X . Это название оправдано тем, что в элементарно-геометрических ситуациях dimХ совпадает с обычно понимаемой размерностью, например dim

=n . Возможны и др. числовые функции топологического пространства X , отличающиеся от dimX , но в простейших случаях совпадающие с dimX . Их изучение составляет предмет общей теории размерности — наиболее геометрически ориентированной части общей Т. Только в рамках этой теории удаётся, например, дать чёткое и достаточно общее определение интуитивного понятия геометрической фигуры и, в частности, понятия линии, поверхности и т.п.

  Важные классы топологических пространств получаются наложением так называемых аксиом отделимости. Примером является так называемая аксиома Хаусдорфа, или аксиома T₂ , требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями. Топологическое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется хаусдорфовым, или отделимым. Некоторое время в математической практике встречались почти исключительно хаусдорфовы пространства (например, любое метрическое пространство хаусдорфово). Однако роль нехаусдорфовых топологических пространств в анализе и геометрии постоянно растет.

  Топологические пространства, являющиеся подпространствами хаусдорфовых (би) компактных пространств, называются вполне регулярными или тихоновскими. Их тоже можно охарактеризовать некоторой аксиомой отделимости, а именно: аксиомой, требующей, чтобы для любой точки x

 Х и любого не содержащего её замкнутого множества F

 Х существовала непрерывная функция g : Х ® [0, 1], равная нулю в x и единице на F .

  Топологические пространства, являющиеся открытыми подпространствами хаусдорфовых компактных, называются локально компактными пространствами. Они характеризуются (в классе хаусдорфовых пространств) тем, что каждая их точка обладает окрестностью с компактным замыканием (пример: евклидово пространство). Любое такое пространство дополняется одной точкой до компактного (пример: присоединением одной точки из плоскости получается сфера комплексного переменного, а из

 — сфера S ⁿ ).

  Отображение f : X ® Y топологическое пространства Х в топологическое пространство Y называют непрерывным отображением, если для любого открытого множества V Ì Y множество f^—1 (V ) открыто в X . Непрерывное отображение называют гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение f^—1 : Y ® X непрерывно. Такое отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми множествами топологических пространств Х и Y , перестановочное с операциями объединения и пересечения множеств. Поэтому все топологические свойства (то есть свойства, формулируемые в терминах открытых множеств) этих пространств одни и те же, и с топологической точки зрения гомеоморфные топологические пространства (то есть пространства, для которых существует хотя бы один гомеоморфизм Х ® Y ) следует считать одинаковыми (подобно тому как в евклидовой геометрии одинаковыми считаются фигуры, которые можно совместить движением). Например, гомеоморфны («топологически одинаковы») окружность и граница квадрата, шестиугольника и т.п. Вообще любые две простые (не имеющие двойных точек) замкнутые линии гомеоморфны. Напротив, окружность не гомеоморфна прямой (ибо удаление точки не нарушает связности окружности, но нарушает связность прямой; по той же причине прямая не гомеоморфна плоскости, а окружность не гомеоморфна «восьмёрке»). Окружность не гомеоморфна также и плоскости (выкиньте не одну, а две точки).

  Пусть {Х_a } — произвольное семейство топологических пространств. Рассмотрим множество Х всех семейств вида {х_a }, где x_a

 X_a (прямое произведение множеств X_a ). Для любого a формула определяет некоторое отображение  (называется проекцией). Вообще говоря, в Х можно ввести много топологических структур, относительно которых все отображения p_a непрерывны. Среди этих структур существует наименьшая (то есть содержащаяся в любой такой структуре). Снабженное этой топологической структурой множество Х называется топологическим произведением топологических пространств Х_a и обозначается символом ПХ_a (а в случае конечного числа сомножителей — символом X₁ ´ ... ´ X_n ). В явном виде открытые множества пространства Х можно описать как объединения конечных пересечений всех множеств вида , где U_a открыто в X_a . Топологическое пространство Х обладает следующим замечательным свойством универсальности, однозначно (с точностью до гомеоморфизма) его характеризующим: для любого семейства непрерывных отображений f_a : Y ® X_a существует единственное непрерывное отображение f : Y ® X , для которого    при всех a. Пространство  является топологическим произведением n экземпляров числовой прямой. Одной из важнейших теорем общей Т. является утверждение о том, что топологическое произведение компактных топологических пространств компактно.