Примерами гладких многообразий являются n -мерные поверхности в

, не имеющие особых точек. Оказывается (теорема вложения), что любое гладкое многообразие диффеоморфно такой поверхности (при N ³ 2n + 1). Аналогичный результат верен и при a =t , p .

  Каждое p -многообразие является t- многообразием. Оказывается, что на любом s -многообразии можно некоторым естественным образом ввести p -структуру (которая называется обычно у айтхедовской триангуляцией). Можно сказать, что любое a-многообразие, где a = p или s, является a’-многообразием, где a’ = t или p . Ответ на обратный вопрос: на каких a’-многообразиях можно ввести a-структуру (такое a’-многообразие при a’ = p называется сглаживаемым, а при a’ = t —  триангулируемым), а если можно, то сколько? — зависит от размерности n.

  Существует только два одномерных топологических многообразия: окружность S¹ (компактное многообразие) и прямая линия

 (некомпактное многообразие). Для любого a =p , s на t -многообразиях S¹ и  существует единственная a-структура.

  Аналогично, на любом двумерном топологическом многообразии (поверхности) существует единственная a-структура, и можно легко описать все компактные связные поверхности (некомпактные связные поверхности также могут быть описаны, но ответ получается более сложный). Для того чтобы поверхности были гомеоморфны, достаточно, чтобы они были гомотопически эквивалентны. При этом гомотопический тип любой поверхности однозначно характеризуется её группами гомологий. Существует два типа поверхностей: ориентируемые и неориентируемые. К числу ориентируемых принадлежит сфера S² и тор T² . Пусть Х и Y — два связных n -мерных a-многообразия. Вырежем в Х и Y по шару (при n = 2 — диску) и склеим получившиеся граничные сферы (при n = 2 — окружности). При соблюдении некоторых само собой разумеющихся предосторожностей в результате снова получим a-многообразие. Оно называется связной суммой a-многообразий Х и Y и обозначается X #Y. Например , T² #T² имеет вид кренделя. Сфера S ⁿ является нулём этого сложения, то есть  S ⁿ #X = Х для любого X . В частности, S² #T² = T² . Оказывается, что ориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме вида S² #T² #… #T² , число p слагаемых T² называется родом поверхности. Для сферы p = 0, для тора p = 1 и т. д. Поверхность рода p можно наглядно представлять себе как сферу, к которой приклеено p «ручек». Каждая неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме

P² # ¼ #P² некоторого числа проективных плоскостей P² . Её можно представлять себе как сферу, к которой приклеено несколько Мебиуса листов .

  На каждом трёхмерном топологическом многообразии при любом a = p , s также существует единственная a-структура и можно описать все гомотопические типы трёхмерных топологических многообразий (однако групп гомологий для этого уже недостаточно). В то же время до сих пор (1976) не описаны все (хотя бы компактные связные) трёхмерные топологические многообразия данного гомотопического типа. Это не сделано даже для односвязных многообразий (все они гомотопически эквивалентны сфере S ³ ). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что любое такое многообразие гомеоморфно S ³ .

  Для четырёхмерных (компактных и связных) топологических многообразий вопрос о существовании и единственности a-структур (a = p , s ) ещё не решен, а их гомотопический тип описан только в предположении односвязности. Справедлив ли для них аналог гипотезы Пуанкаре, неизвестно.

  Замечательно, что для компактных и связных топологических многообразий размерности n ³ 5 ситуация оказывается совсем иной: все основные задачи для них можно считать в принципе решенными (точнее, сведёнными к проблемам алгебраической Т.). Любое гладкое многообразие Х вкладывается как гладкая (n -мepная) поверхность в

; и касательные векторы к Х составляют некоторое новое гладкое многообразие TX, которое называется касательным расслоением гладкого многообразия X . Вообще, векторным расслоением над топологическим пространством Х называется топологическое пространство Е, для которого задано такое непрерывное отображение p : Е ® Х , что для каждой точки х Î Х прообраз v (слой) является векторным пространством и существует такое открытое покрытие {U_a } пространства X , что для любого a прообраз p^—1 (U_a ) гомеоморфен произведению U_a ´ , причём существует гомеоморфизм p^—1 (U_a ) ® U_a ´ , линейно отображающий каждый слой p^—1(x), x Î U_a, на векторное пространство {х} ´ . При Е = TX непрерывное отображение p сопоставляет с каждым касательным вектором точку его касания, так что слоем p^—1(x) будет пространство, касательное к Х в точке х. Оказывается, что любое векторное расслоение над компактным пространством Х определяет некоторый элемент группы KO(X). Таким образом, в частности, для любого гладкого, компактного и связного многообразия Х в группе KO(X) определён элемент, соответствующий касательному расслоению. Он называется тангенциальным инвариантом гладкого многообразия X . Имеется аналог этой конструкции для любого a. При a = p роль группы KO(X) играет некоторая другая группа, которая обозначается KPL(X), а при a = t роль этой группы играет группа, обозначаемая KTop(X). Каждое a-многообразие Х определяет в соответствующей группе [КО(Х) , KPL(X) или KTop(X) ] некоторый элемент, называемый его a-тангенциальным инвариантом. Имеются естественные гомоморфизмы KO(X) ® KPL(X) ® KTop(X) , и оказывается, что на n -мерном (n ³ 5 ) компактном и связном a'-многообразии X , где a' = t , p , тогда и только тогда можно ввести a-структуру (a = р, если a' = t, и a = s, если a' = p ), когда его a'-тангенциальный инвариант лежит в образе соответствующей группы [KPL(X) при a' = t и KO(X) при a' = p ]. Число таких структур конечно и равно числу элементов некоторого фактормножества множества [X , Y_a ], где Y_a — некоторое специальным образом сконструированное топологическое пространство (при a = s топологическое пространство Y_a обозначается обычно символом PL/O , а при a = p — символом Top/PL ). Тем самым вопрос о существовании и единственности a-структуры сводится к некоторой задаче теории гомотопий. Гомотопический тип топологического пространства PL/O довольно сложен и до сих пор (1976) полностью не вычислен; однако известно, что p_i (PL/O ) = 0 при i £ 6, откуда следует, что любое кусочно-линейное многообразие размерности n £ 7 сглаживаемо, а при n £ 6 единственным образом. Напротив, гомотопический тип топологического пространства Top/PL оказался удивительно простым: это пространство гомотопически эквивалентно K (ℤ₂ , 3). Следовательно, число кусочно-линейных структур на топологическом многообразии не превосходит числа элементов группы H ³ (X , ℤ₂ ). Такие структуры заведомо существуют, если H ⁴ (X , ℤ₂ ) = 0, но при H ⁴ (X , ℤ₂ ) ¹ 0 кусочно-линейной структуры может не существовать.