В одномерном пространстве 0-мерная сфера с центром в точке 0 и радиусом 1 представляет собой две точки {—1, 1}, как показано на рисунке. На плоскости одномерная сфера является окружностью с центром в начале координат и радиусом 1, а в трехмерном пространстве двумерная сфера будет тем, что мы обычно понимаем под сферой.

N-мерные сферы с радиусом 1 и с центром в начале координат в пространствах размерности (n + 1), где n = 0, 1, 2.

Теперь мы подошли к задаче, как можно визуализировать и лучше представить себе, что такое гиперсфера. Предположим, что пространственное четвертое измерение существует, и мы находимся на огромном поле. Мы смотрим на пятиметровую мачту и хотим представить себе, как выглядит гиперсфера с центром на верхушке мачты и радиусом 5 м. Конечно, можно представить обычную сферу (двумерную) с центром в этой точке и радиусом 5 м (как показано на рисунке ниже), состоящую из точек нашего трехмерного пространства, которые находятся на расстоянии 5 м от центра. Ясно, что эти точки также принадлежат гиперсфере. Но можно ли визуализировать остальные точки гиперсферы, которые не находятся в нашем пространстве? Предположим, что мы переместились на 4 м от центра сферы в любом направлении, а затем — на 3 м в направлении к ана. Это направление, кстати, перпендикулярно к предыдущему. Тогда по теореме Пифагора 3²  + 4² = 5². Другими словами, мы оказались в точке в 5 м от центра, которая, следовательно, принадлежит гиперсфере.

Сфера с центром О и радиусом 5 м является частью гиперсферы, той частью, которая находится в нашей трехмерной вселенной. Если мы отойдем от центра сферы на 4 м, а затем на 3 м в направлении к ана, то окажемся в точке Р, которая будет точкой гиперсферы с радиусом 5.

Так можно получить все точки гиперсферы. Чтобы лучше понять эту идею, мы повторим этот процесс на поверхности Флатландии. Предположим, что Квадрат, главный герой книги Эбботта, захотел изобразить на плоскости сферу с центром в точке О и радиусом 5. Сначала он нарисовал в своей плоской вселенной окружность радиуса 5, которая, как он знает, является частью трехмерной сферы, то есть той частью, которая находится во Флатландии. Затем он действует так же, как и мы: он перемещается в любом направлении от центра на расстоянии 4 м, а затем представляет движение на 3 м вверх. По теореме Пифагора (которую он, к счастью, знает) полученная точка также будет точкой сферы (см. рисунок ниже). Кроме того, из точек окружности меньшего радиуса, например 4 м, Квадрат может представить другую окружность в верхней части сферы (то есть плоское сечение сферы), расположенную в 3 м над Флатландией. Другая меньшая окружность может быть получена при движении вниз.

Окружность с центром О и радиусом 5 м, нарисованная Квадратом, является той частью сферы, которая находится во Флатландии. Если мы переместимся от центра круга на расстояние 4 м, а затем на 3 м вверх, то мы окажемся в точке Р, которая также будет точкой сферы радиуса 5 м.

Квадрату удалось понять, что такое сфера, но теперь он должен попытаться представить ее. Учитывая, что каждая окружность с центром О и радиусом меньше 5 м соответствует окружности сферы (на самом деле двум окружностям), квадрат-математик представляет себе половину сферы как группу всех окружностей с центром О и радиусом меньше 5 м, как показано на рисунке.

Полусфера, изображенная на плоскости в виде плоских окружностей с радиусами меньшими, чем радиус сферы (рисунок Хосу Арройо).

Квадрат может мысленно представить себе это изображение, но все еще с большим трудом, поэтому он идет дальше и разделяет все круги по длине отрезка (отрезка прямой линии с концами —5 и 5) так, что каждая точка отрезка обозначает высоту h от плоскости: положительная — вверх, отрицательная — вниз. Круг, соответствующий этой точке, будет кругом сечения сферы на высоте h (радиус которого равен положительному числу с, вычисляемому по теореме Пифагора: h² + с² = 5²). Следующий рисунок получен именно так.

Точки, находящиеся на отрезке, указывают высоту, на которой расположена каждая из окружностей. Этот рисунок является визуализацией сферы на плоскости (рисунок Хосу Арройо).

Возвращаясь к случаю гиперсферы радиуса 5 м в четвертом измерении, мы можем применить аналогичный метод и представить полугиперсферу как семейство всех сфер с центрами на вершине мачты и с радиусами, меньшими 5 м или равными 5 м. Мы можем представить гиперсферу как все сферы, расположенные на различных высотах h в направлении ана или ката.

Все сферы в направлении, перпендикулярном к трехмерному пространству (в направлении ана или ката), являющиеся частями гиперсферы, изображены на отрезке, точки которого указывают высоту каждой сферы. Этот рисунок является визуализацией гиперсферы в нашем трехмерном пространстве (рисунок Хосу Арройо).

Одним из методов, используемых для визуализации четырехмерного объекта, в данном случае гиперкуба, в трехмерном или даже в двумерном пространстве, являются математические проекции, которые преобразуют четырехмерное пространство в трехмерное. Как правило, мы можем использовать математические проекции для преобразования любого n-мерного пространства в пространства меньших размерностей.

Существует два типа проекций — геометрические и алгоритмические. Первый является более естественным, его можно интерпретировать как лучи света, дающие изображения и тени. Алгоритмические проекции выражаются с помощью математических формул. Это означает, что геометрическая интерпретация теряется, зато можно использовать мощные математические средства.

В этой главе мы рассмотрим два типа естественных геометрических проекций, используемых в повседневной жизни. Это ортогональные проекции, соответствующие освещению солнечным светом, и центральные проекции, связанные с близко расположенным источником света, например лампой или фонарем. Именно так работает наше зрение, и именно их имитирует перспектива в живописи.

* * *