Однако всякий опыт имеет одну интересную особенность. Он никогда не дает вам стопроцентной гарантии того, что ваше знание совершенно безошибочно, что оно не является в чем-то односторонним. Могут выясниться такие обстоятельства, которые заставят вас уточнить ваши представления, а, может быть, и совсем отказаться от вашего мнения, которое до сих пор вполне соответствовало тому опыту, который у вас имелся.

Вы, например, можете быть уверены в том, что превосходно знаете Москву, все ее площади, улицы и переулки, ее старые и новые районы. Вы решили принять участие в конкурсе на знание Москвы (такие конкурсы иногда проводятся). Вас привезли в новый район Москвы, и вдруг вы обнаруживаете, что не можете ориентироваться. Оказывается, ваше знание Москвы было весьма неточным, оно нуждается в серьезном исправлении.

Вам кажется, что вы хорошо знаете одного человека, вашего товарища по школе. Вы много лет учились с ним в одном классе, обсуждали многие вопросы, и каждый раз ваши мнения совпадали. Но вот ваш товарищ, оказавшись в сложной ситуации, совершает такой поступок, которого вы никак от него не ожидали, который противоречит всему тому, что вы до сих пор о нем знали. Это значит, что либо ваш товарищ искусно маскировался и никогда не был тем, за кого он себя выдавал, либо то, что его поведение до сих пор соответствовало обычным ситуациям, но не ситуациям сложным и неожиданным.

Казалось бы, себя-то вы уж наверняка знаете безошибочно (и даже знаете о себе то, что никто, кроме вас, не знает). Ни и это, оказывается, не совсем так. Вы тоже, попав в непривычную и сложную ситуацию, можете обнаружить в себе такие черты (хорошие или плохие), о которых вы до сих пор не подозревали. Вы можете не отдавать себе отчета в некоторых ваших настроениях и душевных конфликтах, которые выявятся только потом, но которые существуют уже сейчас, хотя и не осознаются вами.

Новые документы и исторические свидетельства могут существенно изменить наши представления о революции 1917 г. (это, действительно, произошло недавно).

Казалось бы, сказанное не распространяется на знание законов. Ведь никто и ничто не может отменить законов механического перемещения, распространения света, движения тока в электрической цепи, происхождения и развития видов. Но оказывается, что и это наше мнение не совсем точно. Конечно, сформулированные Ньютоном три закона механики никакое дальнейшее развитие науки отменить не может. Обратим однако внимание на то, что при формулировке закона F = ma Ньютон предполагал, что как та, так и а могут быть какими угодно (в этом он, как и многие ученые после него, видел всеобщность своего закона). Между тем, в XX веке наука выяснила, что в случае очень больших скоростей и очень больших или очень малых масс законы классической механики не действуют. Действие этих законов относится только к движению тел средних размеров и скоростей, то есть тех тел, с которыми мы имеем дело в нашем обычном опыте. Значит, и наше понимание законов науки и уж во всяком случае знание границ области, в которой они действуют, тоже может меняться по мере изменения нашего опыта.

Между тем, каждому из нас ясно, что с математикой дело обстоит совершенно иначе. Мы не можем себе представить, чтобы при каких-то обстоятельствах 2 + 3 было бы не равно 5, а сумма углов треугольника не была бы равна двум прямым. Конечно, когда мы учимся считать, мы первоначально используем какие-то конкретные предметы: сначала палочки, потом пальцы. В геометрии мы чертим на доске или на бумаге изображения треугольников, прямоугольников, окружностей, производим с этими изображениями определенные действия: передвигаем их в плоскости иЛи в пространстве, вращаем, достраиваем их и т. д. Палочки, наши пальцы, геометрические изображения, действия с этими изображениями — все это относится к миру нашего опыта и предполагает использование органов чувств: в частности, зрения и осязания. Казалось бы, математическое знание в этом отношении ничем не отличается от всякого другого. Однако отличие есть, и при том весьма существенное. Когда мы уже научились считать, мы начинаем складывать, умножать и делить уже не 3 палочки, не 2 вороны и не 6 бубликов, а отвлеченные числа 2, 3, 6, и понимаем при этом, что результаты наших действий относятся к любым возможным предметам и что правильность этих результатов совершенно не зависит от возможного изменения нашего опыта. Мы можем представить себя на какой-то другой планете, которая во всех отношениях совершенно не похожа на нашу Землю, мы можем вообразить, что мы летим на космическом корабле со скоростью, близкой к скорости света. Но мы прекрасно понимаем, что и в этих условиях 2 + 3 будет обязательно равно 5, a 5x5 — 25. Нам ясно и то, что всегда, при всех мыслимых условиях будет справедливым положение, что (а + Ь) = а2 + Ь2 + 2аЬ, какие бы числа мы не подставляли в это уравнение и к каким бы конкретно предметам эти числа ни относились. Для того, чтобы производить арифметические действия, нам не нужно обращаться к опыту. Нам не нужен опыт и для проверки верности результатов наших действий. Нам не требуется никакое опытное знание для того, чтобы доказывать новые алгебраические теоремы. Для этого достаточно иметь карандаш и бумагу и оперировать определенными значками и символами. Знания в математике получаются чисто логическим путем, дедуктивно, без обращения к опыту, и если мы не нарушаем правил логики, полученные нами результаты будут не просто истинными, а совершенно истинными, потому что никакой возможный опыт не может их отменить. Можно возразить, что сказанное относится к арифметике и к алгебре, но не к геометрии, которая невозможна без действий с наглядными, т. е. зрительно воспринимаемыми изображениями, а значит, без определенного рода опыта. Однако если мы повнимательнее присмотримся к тому, что мы делаем, доказывая геометрические теоремы, если мы начнем размышлять о том, каков геометрический опыт, мы обнаружим удивительные вещи. Конечно, мы не сможем доказать теорему о сумме углов треугольника, если не нарисуем изображение треугольника и не будем производить действий с этим треугольником в поле нашего зрения (т. е. если мы не сможем видеть результаты наших действий с треугольником на листе бумаги или на доске). Обратим однако внимание на то, что этот треугольник какой-то странный. Ведь у каждого нормального треугольника, с которым мы имеем дело в нашем обычном опыте, стороны должны состоять из чего-то материального: из проволоки, из деревянных планок, из пластмассовых стержней и т. д. А это значит, что они будут иметь не только длину, но и определенную ширину и толщину, не будут идеально прямыми. Треугольник будет обязательно иметь определенный размер и форму (т. е. будет либо косоугольный, либо тупоугольный и т. д.). Между тем, треугольник, с помощью которого мы осуществляем наше геометрическое доказательство, как бы не имеет ни размера, ни формы (потому что может быть любого размера и формы), его стороны не имеют ни толщины, ни ширины, а только длину и являются идеально прямыми (т. е. не могут нигде хотя бы чуть-чуть изгибаться, что так естественно в нашей обычной жизни). В этой связи мы начинаем вспоминать и множество других странных вещей, принятых в геометрии (при формулировке ее исходных аксиом и постулатов). Ведь, например, точка в геометрии не имеет ни длины, ни ширины, ни толщины (ясно, что подобную точку мы никогда не сможем встретить в нашем привычном мире; если она и существует, то в каком-то другом, «идеальном» мире, совершенно не похожем на наш). Мы начинаем подозревать, что в геометрии так же, как в алгебре, главную роль играет логическая строгость доказательства, дедуктивного вывода, а наглядность играет лишь вспомогательную роль. Действительно, в процессе развития математики было обнаружено, что геометрические образы можно поставить в соответствие с некоторыми алгебраическими функциями и доказывать геометрические теоремы с помощью алгебраических действий. Оказывается, использование наглядных пространственных образов вовсе не обязательно для получения новых результатов и в геометрии. В свете сказанного вы, наверное, не удивитесь тому факту, что ряд выдающихся математиков-геометров были слепыми.