В этой модели, то есть когда плоскостью является только внутренность круга, а хорды являются прямыми линиями, мы видим, что прямые r, s и l проходят через точку вне прямой l и не пересекаются с прямой l в неевклидовом смысле, так как они не пересекаются с прямой l внутри круга. Таким образом, в этой модели через точку вне прямой можно провести бесконечное число линий, не пересекающихся с данной прямой.

Клейн показал, что геометрия в его круге эквивалентна гиперболической геометрии, то есть его геометрия удовлетворяет всем аксиомам Евклида, кроме пятого постулата, и сохраняет все результаты гиперболической геометрии.

* * *

* * *

Вскоре после того как Лобачевский и Бойяи построили новую геометрию, появилась другая неевклидова геометрия. Ее создал известный немецкий математик Бернхард Риман, который заменил пятый постулат Евклида другой аксиомой:

Бернхард Риман (1826–1866) родился в Ганновере и уже в юном возрасте был математически одаренным ребенком. В 16 лет, учась в Люнебургской гимназии, он проявил большие математические способности, и директор школы разрешал мальчику брать из своей личной библиотеки книги по математике. В 1846 г. Риман поступил в Гёттингенский университет, где изучал теологию по совету своего отца. Однако, в конце концов он перешел на философский факультет, где также преподавалась математика. Его учителями были такие светила, как Мориц Штерн и сам Гаусс.

В 1847 г. Риман перешел в Берлинский университет, где преподавали Штайнер, Якоби, Дирихле и Эйзенштейн. Затем он вернулся в Гёттинген и получил докторскую степень по философии под руководством Гаусса. В 1854 г. Риман начал преподавать в университете и прочитал лекции по основам новой геометрии, но эти лекции были опубликованы лишь через два года после его смерти. Риман был избран членом Берлинской академии наук, но в конце концов был вынужден уехать из Германии для лечения от туберкулеза.

Он закончил свои дни в Италии.

Однажды, когда Риман учился у Гаусса в Гёттингенском университете, профессору нужно было выбрать одного студента в качестве представителя группы. Он придумал следующий метод отбора: «Каждый из вас предложит три темы. Руководство факультета выберет одну из них, и этот студент выступит с трехчасовым докладом по этой теме». Риман решил прокомментировать книгу Лобачевского «Новые начала геометрии». В своем предложении он написал знаменитые слова:

«Евклид утверждал, что через точку вне данной прямой можно провести только одну параллельную ей линию, Лобачевский писал, что параллельных ей линий можно провести сколько угодно, а я говорю, что нельзя провести ни одной».

Бернхард Риман

* * *

На надутом воздушном шарике прямая превращается в кривую, называемую геодезической линией, которая является большим кругом на сфере. Риман не мог провести этот простой, но наглядный эксперимент. В его время воздушные шарики еще не были изобретены.

* * *

Там же Риман добавляет:

«Следовательно, бесконечной прямой не существует, потому что в конце концов она стала бы кривой, и не существует совершенно плоской поверхности, потому что при продолжении она должна следовать кривизне Вселенной. Но так как плоскость будет искривляться во всех направлениях, искривленная плоскость оказывается сферической. Единственная геометрия, которая действительно существует, является сферической».

Эта спонтанная презентация содержала самую суть будущей геометрии Римана, которая отличается и от евклидовой, и от геометрии Лобачевского. В геометрии Римана нет прямых линий, а сумма углов треугольника больше 180°. Поверхность сферы является лучшей моделью для геометрии Римана. Сфера является частным случаем эллипсоида, удлиненной сферы. В этой модели прямые, как и в гиперболической геометрии, называются геодезическими линиями и являются большими окружностями, то есть такими окружностями, которые делят сферу на два равных полушария.

Все геодезические линии пересекаются, а треугольник АВС содержит два прямых угла, так что сумма его углов больше 180° (см. рисунок на предыдущей странице). В этой геометрии чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов, и подобными являются только конгруэнтные треугольники, то есть те, которые совпадают при наложении друг на друга. Таким образом, поверхность сферы является моделью эллиптической геометрии. Как видно на предыдущей странице, сумма углов треугольника на такой поверхности больше 180°.

Риман не только построил эллиптическую геометрию, он также использовал алгебраические выражения (дифференциальные уравнения) для вычисления минимальных расстояний. Ему также удалось посчитать кривизну любого трехмерного пространства. Кроме того, его вычисления могут быть применены для многомерных пространств. Его результаты позже использовал Альберт Эйнштейн при работе над теорией относительности.

Первыми математиками, которые разделили все геометрии на три типа, были Феликс Клейн и основатель современной британской школы чистой математики Артур Кэли (1821–1895). Выделив гиперболическую и эллиптическую геометрии, они описали евклидову геометрию как параболическую. О причинах этого мы расскажем позже.

Неевклидовы геометрии не затмили их знаменитую предшественницу. Конечно, они все отличаются, но и сходств между ними достаточно много. В евклидовой геометрии две прямые пересекаются в точке, то же самое происходит в геометрии Лобачевского. У Римана две прямые (большие окружности) всегда пересекаются в точке и в ее антиподе с другой стороны сферы.