Как видно из вышесказанного, общая относительная плотность, по крайней мере, наблюдаемой области Вселенной (Метагалактики) имеет величину порядка 1. Грубо обобщённое по разным источникам значение величины Ω составляет от 0.95 до 1.03. Это означает, что геометрия наблюдаемой части нашей Вселенной в предельно больших масштабах, исключая окрестности сверхмассивных и массивных объектов, евклидова или почти евклидова. А это, в свою очередь, помогает нам, почти через столетие после создания Фридманом своих моделей, наконец-то сделать выбор одной из них. Похоже, однако, что в этом выборе реализуется самый проблемный вариант: значение Ω определяется из наблюдений с какой-либо, пусть даже и очень малой, погрешностью, а модель плоской евклидовой Вселенной реализуется только в случае, когда Ω, строго равна 1. Любое, пусть даже ничтожно малое отклонение Ω от 1, означает «реализацию» во Вселенной, другой, не евклидовой геометрии, и соответственно, и иной фридмановской космологической модели. Кроме того, проблема определения Ω для всей Вселенной затруднена ещё и тем, что, согласно инфляционной космологии, за счёт раздувания пространства Вселенной на самых ранних этапах эволюции её «размеры» невообразимо велики, и мы наблюдаем её ничтожно малую часть. Делать же уверенные выводы из наблюдений, имеющих сильную погрешность измерения (когда эта погрешность так принципиальна), на всю Вселенную не вполне корректно. Эти обстоятельства позволяют утверждать, что одними наблюдениями проблему определения Ω (а значит и выбор типа фридмановской модели) не решить, для её решения необходимо привлекать дополнительные теоретические соображения.

Кроме относительной плотности Ω важным космологическим параметром, который играет одну из основных системообразующих ролей в раскрытии содержания современного представления понятия «Вселенная», является постоянная Хаббла. Уточнению её значения различными методами посвящено множество работ, список которых ежемесячно увеличивается на несколько десятков. В разных источниках указаны разные значения Н, правда, не сильно отличающиеся друг от друга. Например: Н = 72 км/с∙Мрс (Мрс — Мега параллакс секунда — расстояние, равное приблизительно 3∙10¹⁹ км) в одной из них^[347], в дру-гой работе^[348] указано два значения Н, померенные различными методами: Н = 72 ± 7 км/с∙Мрс и Н = 59 ± 6 км/с∙Мрс, а, кроме того Н = 71 ±6 км/с ∙Мрс^[349], Н = 70 ± 8 км/с ∙Мрс^[350], Н = 67 ± 7 км/с∙Мрс^[351], у В.Л. Гинзбурга^[352] приведено несколько значений: Н = 64 ± 13 км/с ∙Мрс, Н = 71 ±8 км/с ∙Мрс. Результаты, получаемые и в настоящее время, существенным образом не изменяют картину и дают примерно те же значения, например: Н = 73 ± 9 км/с∙Мрс и Н = 62.3 ± 6.3 км/с ∙Мрс^[353].

Зная Н, можно легко установить возраст нашей Вселенной, однако, он будет зависеть от соотношения плотности вакуума и материи^[354]. Там же приведена эта зависимость для Н = 70 ± 8 км/с∙Мрс. Если Ω_E = 0, а Ω_В = 1, тогда t₀ = 9.7 ± 1, если Ω_E= 0.8, а Ω_В = 0.2, тогда t₀ = 15.3 ± 1.5, если Ω_E= 0.7, а Ω_В= 0.3, тогда t₀=13.7 ± 1.4, если Ω_E = 0.65, а Ω_В = 0.35, тогда t₀ =12.9 ± 1.3, где t₀ — время, прошедшее от начала расширения Вселенной, взятое в миллиардах лет.

Такова, в общих чертах, Вселенная в своих основных системообразующих свойствах и качествах, с точки зрения современных, впрочем, быстро меняющихся представлений.

Г. И. Наан

ПОНЯТИЕ БЕСКОНЕЧНОСТИ В МАТЕМАТИКЕ, ФИЗИКЕ И КОСМОЛОГИИ

§ 1. Введение

Проблема бесконечности принадлежит к числу «вечных» проблем науки, привлекающих пристальное внимание математиков, естествоиспытателей и философов.

Пограничный характер проблемы бесконечности, необходимость ее разработки общими усилиями представителей естествознания, математики и философии уже подчеркивался автором^[355]. Однако и сейчас существуют точки зрения о том, что проблема относится всецело к компетенции естественных наук либо, наоборот, «исключительно» или хотя бы «прежде всего» к компетенции философии (см., например^[356]). Не столь важно, по какому «ведомству» — естественнонаучному или философскому — числить проблему, гораздо важнее, чтобы она разрабатывалась на современном научном уровне; а это возможно только при участии представителей разных отраслей математики, физики, астрономии, философии. Иными словами, не следует стремиться к тому, чтобы пограничная проблема была предметом пограничного конфликта.

В современной науке проблема бесконечности стала чрезвычайно многогранной. Бурное развитие математики за последние сто лет привело к открытию ряда новых, чрезвычайно интересных аспектов бесконечного, а успехи космологии показывают, что они имеют реальные прообразы в природе. Легче всего заниматься бесконечностью, если обо всем этом ничего не знать: невинность рождает отвагу. Многогранность проблемы рождает также соблазн расчленить бесконечность на разные, мало связанные бесконечности-омонимы (философскую, космологическую, ряд математических). Если учесть еще, что термин «Вселенная» только в физико-математических науках применяется в пяти — шести разных значениях, то оказывается возможным придавать самый различный смысл словосочетанию «бесконечность Вселенной».

По-видимому, не было сделано попыток классификации типов бесконечности или хотя бы составления их перечня. Предлагаемый ниже обзор, вероятно, также не является исчерпывающим.

Выдвигаемая на обсуждение симпозиума точка зрения в известном смысле противоположна очерченной выше. Делается попытка найти единство в многообразии, трактовать различные аспекты бесконечности в математике, физике, астрономии и философии как различные отражения одной и той же реальности — реальной бесконечности реальной Вселенной.

§ 2. Типы бесконечности

2.1. Практическая бесконечность отличается тем, что а) является исторически первым и логическим простейшим представлением о бесконечности; б) несмотря на это чаще всего и вполне успешно применяется во всех физических приложениях математики, кроме, разве, космологических; в) вместе с тем имеет меньше всего отношения к бесконечности в более строгом ее понимании.

Практически-бесконечное означает «достаточно большое (малое, близкое, далекое)». Что считать здесь доста-точным, это всецело зависит от конкретных условий рассматриваемой задачи. Бесконечно большими в этом смысле могут быть и расстояния в 10¹³, и в 10^-13 см (первое в астрономии, второе — в физике элементарных частиц). С точки зрения математика (во всяком случае, представителя классической математики), первая величина ничуть не ближе к бесконечно большому, чем вторая, а вторая представляет бесконечно малую ничуть не в большей мере, чем первая.

Несмотря на кажущуюся примитивность понятия практической (физической) бесконечности, уже в связи с ним могут быть поставлены некоторые далеко идущие вопросы.

2.1.1. Уже здесь мы сталкиваемся с противоречивостью бесконечного, с необходимостью рассматривать взаимоисключающие противоположности в их нераздельном единстве.

Математика не допускает замены бесконечного каким бы то ни было конечным, сколь бы велико (мало) ни было последнее, поскольку они суть взаимоисключающие противоположности. Физика же делает такую замену буквально на каждом шагу, и получающиеся при этом результаты неизменно оказываются правильными. Этим демонстрируется весьма убедительным образом если не тождество, то единство противоположностей.