Каков, однако, прообраз потенциальной бесконечности в космологии? В общем виде ответ на этот вопрос, видимо, может быть примерно таков. Понятие актуальной бесконечности в математике идеализирует действительное положение вещей в том смысле, что рассматривает их как некую готовую, заданную, устойчивую совокупность. Но релятивистская космология установила нестационарность Вселенной (ее составных частей). Поэтому свойства Вселенной, в том числе и пространственно-временные, представляют устойчивое в изменении, и могут существовать лишь как результат многообразных процессов, нарушающих устойчивость. Потенциальная бесконечность является отражением этой стороны дела.
2.8. Метаматематическая бесконечность. Этим намеренно неоднозначным термином я хочу привлечь внимание к возможности дальнейшего обобщения понятия бесконечности в различных направлениях, которые по-разному выводят за пределы представлений, существующих в современной математике.
Во-первых, мыслимы обобщения основного для современной релятивистской космологии аспекта бесконечности — метрического — и усложнение основного понятия метрической геометрии — понятия кривизны. Одно из простейших предположений этого рода — наличие у пространства или пространства-времени второй кривизны (спиральности).
Во-вторых, не исключена возможность дальнейшего обобщения самой геометрии в смысле обнаружения у пространства-времени свойств, еще более устойчивых, чем топологические. При этом может претерпеть изменение и наиболее общее в геометрии понимание бесконечности — топологическое.
В-третьих, возможны изменения, которые явились бы метаматематическими в буквальном значении этого слова, т. е. выводящими за теоретико-множественные основы современной математики. Не только вся релятивистская теория тяготения, из которой исходит современная космология, но и теория поля вообще и вся теоретическая физика в целом строится на том самом теоретико-множественном понимании континуума, которое, по словам Вейля, является одним из двух обнаженных пунктов современной математики. Центральный пункт этого понимания — представление о точечном множестве, множестве, в котором можно с помощью понятия предельных точек подмножеств ввести понятие непрерывности. Представление об пространственно-временном континууме как реализации математического континуума (актуально бесконечного) может подвергнуться ревизии в различных направлениях, мыслимо, например, что макроскопическая непрерывность (пространства, времени, движения, существования частиц) имеет статистический характер, что в основе ее лежит дискретность пространства, времени, траектории, самого бытия частиц.
Выше (2.4.3) уже говорилось о связи между проблемами топологии и причинности (случайности). Связь эта, по-видимому, идет еще дальше, проникая в теоретико-множественное понимание континуума. Современная математика, возможно, нащупывает эту связь в исследованиях, связанных с мерой множества (в смысле Лебега). Послед-няя представляет собой интересный пример меры в общем (философском) смысле; в то же время она позволяет оперировать с такими множествами (абстрактными пространствами), которые плохо поддаются иным подходам; вместе с тем она является одним из центральных понятий в современной теории вероятностей, т. е. в науке о случайном (наука — отнюдь не враг случайностей!).
И все же наибольший «практический» интерес представляют не те метаматематические аспекты бесконечности, которые связаны с буквальным пониманием этого прилагательного, а с более распространенным, включающим в метаматематику те разделы математики, для которых еще не найдено (и, возможно, не будет найдено) место в старых, классических ее разделах (теория информации, теория игр, конечная, или дискретная математика, математическая логика и т. д.). Особенно важен логический аспект проблемы бесконечности и, соответственно, изучение этой проблемы средствами математической логики. Несмотря на то, что этот аспект весьма важен и для космологии, ему, по-видимому, уделялось очень немного внимания. Это является следствием характерной для нашего времени дифференциации науки, малой осведомленности специалистов о действительном положении дел за пределами узкой области своих интересов. Физики часто склонны думать, что вся сложность проблемы бесконечности Вселенной в том, что наблюдательные данные пока слишком ненадежны, что же касается математической, тем более — логической стороны дела, то, слава богу, здесь все ясно. Математики, наоборот, склонны думать, что хоть в физике (космологии) все достаточно ясно, поскольку все решается наблюдением, экспериментом. Специалисты по логике, возможно, полагают, что трудности есть и в математике, и в физике, но не логического порядка.
Между тем, пикантность ситуации состоит прежде всего в том, что в утверждениях типа «Космология доказывает, что Вселенная бесконечна (конечна)» чаще всего остается совершенно неясным, что понимается под космологи-ей, под доказательством, под Вселенной и под бесконечностью. Действительно, уже одно обилие прилагательных (астрономическая, физическая, наблюдательная, теоретическая и т. п. космология) свидетельствует о том, что применяющие их авторы сознают неопределенность термина «космология»; обычно, однако, эти прилагательные тоже ничего не проясняют, кроме желания автора подчеркнуть независимость своих построений от философии (и, возможно, логики). «Доказывает» в данном контексте тоже может совершенно ничего не доказывать, ибо из многовековой истории, попыток доказать пятый постулат Евклида хорошо известно, насколько призрачными становятся даже геометрические доказательства, стоит им только соприкоснуться с бесконечным. «Вселенная» в одной только физико-математической литературе употребляется в пяти-шести существенно различных значениях, причем на протяжении одной страницы или даже одной фразы может происходить переход к другому значению. Наконец, как мы видели, существует по крайней мере десяток разных типов «бесконечности». Во всем утверждении «Космология доказывает, что Вселенная бесконечна (конечна)» остается единственное недвусмысленное слово — служебное слово «что». Этот пример достаточно красноречиво говорит о необходимости хотя бы минимального уточнения логического статута основных понятий, связанных с бесконечностью.
Специально вопрос о логическом статуте бесконечности в релятивистской космологии исследует Э.М. Чудинов. Полученные им результаты, если я правильно их понимаю, могут быть резюмированы так. Бесконечность не выводима, не доказуема и не опровержима. Всякое доказательство бесконечности чего бы то ни было с самого начала предполагает существование чего-то бесконечного. При этом, разумеется, очень важно, чтобы в посылке не фигурировала та же самая бесконечность (тот же тип бесконечности), что и в выводе. Но, в конечном счете, утверждение о бесконечности всегда носит аксиоматический характер. Таково положение в классической математике. Но поскольку реляти-вистская космология использует именно такое понятие бесконечности — метрическое, являющееся частным случаем теоретико-множественного, — все это относится и к космологической бесконечности.
Эти выводы очень важны, и к ним придется вернуться В § 4.
§ 3. Бесконечность В КОСМОЛОГИИ
Состояние проблемы бесконечности в космологии определяется в любую заданную эпоху тремя обстоятельствами. Первое — это состояние проблемы в математике. Вследствие этого космология до середины прошлого века могла оперировать только понятием бесконечности как неограниченной протяженности. Второе — это физическая теория, связывающая свойства пространства-времени с физическими свойствами материи. Поскольку до Эйнштейна свойства пространства-времени считались независимыми от свойств материи, космология продолжала оперировать этим пониманием бесконечности вплоть до 1916 года. Можно было высказывать лишь догадки о том, что метрика и топология физического пространства могут быть неевклидовыми (Риман, Клиффорд, Клейн и др.). Третье — это возможность сравнивать космологические построения с данными наблюдений, т. е. сравнивать предсказания физической теории и через нее соответствующий математический эталон бесконечности с реальностью. Даже самая волнующая космологическая гипотеза не будет приниматься всерьез, пока не выясняются возможности ее наблюдательной проверки. Так было с теорией Фридмана до начала 30-х годов, и по этой же причине топология в космологии до сих пор мало популярна, хотя в принципе ее значение известно в течение полувека.
