Рано или поздно вам придется завершить свою проверку. К тому времени, вы, может быть, справедливо решите признать способности джинна. Я не хочу сказать, что вы когда-либо сможете доказать, что были в среде Кантгоуту, поскольку всегда существует даже более сложная программа, которую мог обрабатывать джинн, и которая могла бы соответствовать полученным вами ощущениям. То, о чем я сейчас говорил, всего лишь общая черта виртуальной реальности, — ощущение не может доказать пребывание человека в данной среде, будь это Центральный Корт Уимблдона или среда типа Кантгоуту.
В любом случае не существует таких джиннов и таких сред. Таким образом, мы должны сделать вывод, что физика не позволяет репертуару генератора виртуальной реальности приблизиться к тому огромному репертуару, который позволяет одна логика. Насколько же велик может быть этот репертуар?
Поскольку мы не можем надеяться на передачу всех логически возможных сред, давайте рассмотрим меньшую (но в конечном счете более интересную) степень универсальности. Давайте определим универсальный генератор виртуальной реальности как генератор, репертуар которого содержит репертуары всех остальных физически возможных генераторов виртуальной реальности. Может ли существовать такая машина? Может. Размышление о фантастических устройствах, основанных на стимуляции нервов, управляемой компьютером, делает это очевидным — в действительности, почти слишком очевидным. Такую машину можно было бы запрограммировать на воспроизведение характеристики любой конкурирующей с ней машины. Она смогла бы вычислить реакцию той машины при любой данной программе, при любом поведении пользователя и, следовательно, смогла бы передать эти реакции с совершенной точностью (с точки зрения любого данного пользователя). Я говорю, что это «почти слишком очевидно», потому что здесь содержится важное допущение относительно того, на выполнение каких действий можно запрограммировать предложенное устройство, точнее, его компьютер: при наличии подходящей программы, достаточного времени и средств хранения информации компьютер смог бы подсчитать результат любого вычисления, выполненного любым другим компьютером, в том числе и компьютером конкурирующего генератора виртуальной реальности. Таким образом, возможность реализации универсального генератора виртуальной реальности зависит от существования универсального компьютера — отдельной машины, способной вычислить все, что только можно вычислить.
Как я уже сказал, такая универсальность была впервые изучена не физиками, а математиками. Они пытались создать точное интуитивное понятие «решения» (или «вычисления», или «доказательства») чего-либо в математике. Они не учитывали, что математическое вычисление — это физический процесс (в частности, как я уже объяснил, процесс передачи в виртуальной реальности), поэтому, путем математического рассуждения невозможно определить, что можно вычислить математически, а что нельзя. Это полностью зависит от законов физики. Но вместо того чтобы пытаться получить какие-то результаты из законов физики, математики сформулировали абстрактные модели «решения» и определили «вычисление» и «доказательство» на основе этих моделей. (Я вернусь к этой интересной ошибке в главе 10). Вот так и получилось, что за несколько месяцев 1936 года три математика, Эмиль Пост, Алонцо Черч и, главное, Алан Тьюринг независимо друг от друга создали первые абстрактные схемы универсальных компьютеров. Каждый из них считал, что его «вычислительная» модель действительно правильно формализовала традиционное интуитивное понятие математического «вычисления». Следовательно, каждый из них также полагал, что его модель эквивалентна (имеет тот же репертуар) любой другой разумной формализации подобной интуиции. Сейчас это известно как гипотеза Черча - Тьюринга.
Модель вычислений Тьюринга и концепция природы задачи, которую он решал, была наиболее близка к физике. Его абстрактный компьютер, машина Тьюринга, представлял собой бумажную ленту, разделенную на квадраты, причем на каждом квадрате был написан один из конечного числа легко различимых символов. Вычисление осуществлялось следующим образом: проверялся один квадрат, затем лента перемещалась вперед или назад, стирая или записывая один из символов в соответствии с простыми недвусмысленными правилами. Тьюринг доказал, что один конкретный компьютер такого типа, универсальная машина Тьюринга, имеет объединенный репертуар всех других машин Тьюринга. Он предположил, что этот репертуар в точности состоит из «каждой функции, которую естественно посчитали бы вычислимой». Он имел в виду вычислимой математиками.
Однако математики — это достаточно нетипичные физические объекты. Почему мы должны допускать, что их передача при выполнении вычислений — предел вычислительных задач? Оказывается, что не должны. Как я объясню в главе 9, квантовые компьютеры могут выполнять вычисления, которые ни один математик (человек) никогда, даже в принципе, не сможет выполнить. В работе Тьюринга неявно выражено его ожидание, что то, что «естественно сочли бы вычислимым», могло бы, по крайней мере в принципе, быть вычисленным и в природе. Это ожидание эквивалентно более сильной физической версии гипотезы Черча-Тьюринга. Математик Роджер Пенроуз предложил назвать его принципом Тьюринга:
Принцип Тьюринга (для абстрактных компьютеров, имитирующих физические объекты)
Существует абстрактный универсальный компьютер, репертуар которого включает любые вычисления, которые может осуществить любой физически возможный объект.
Тьюринг считал, что «универсальный компьютер», о котором идет речь, — это универсальная машина Тьюринга. Чтобы принять во внимание более широкий репертуар квантовых компьютеров, я сформулировал принцип в такой форме, которая точно не определяет, какой частный «абстрактный компьютер» выполняет вычисления.
Приведенным мной доказательством существования сред Кантгоуту я, в сущности, обязан Тьюрингу. Как я уже сказал, он не думал непосредственно о виртуальной реальности, но «среда, которую можно передать», относится к классу математических вопросов, ответ на которые можно вычислить. Эти вопросы вычислимы. Все остальные вопросы — вопросы, ответы на которые невозможно вычислить, называются невычислимыми. Если вопрос невычислим, это не значит, что на него нет ответа или что этот ответ в каком-то смысле плохо определен или сомнителен. Напротив, это значит, что у этого вопроса определенно есть ответ. Дело просто в том, что физически, даже в принципе не существует способа получить этот ответ (или точнее, поскольку человек всегда может высказать удачную, неподдающуюся проверке догадку, доказать, что это и есть ответ). Например, простые двойники — это два простых числа, разность которых равна 2, например, 3 и 5 или 11 и 13. Математики тщетно пытались ответить на вопрос, существует ли бесконечно много таких пар или их количество все же конечно. Неизвестно даже, вычислим ли этот вопрос. Предположим, что нет. Это все равно, что сказать, что ни один человек и ни один компьютер никогда не смогут создать доказательство существования конечного или бесконечного количества простых двойников. Но даже в этом случае ответ на этот вопрос существует: можно сказать определенно, что есть либо наибольшая пара простых двойников, либо бесконечно большое количество таких пар; другого варианта не существует. Вопрос остается четко определенным, несмотря на то, что, возможно, мы никогда не узнаем ответа.
Что касается виртуальной реальности: ни один физически возможный генератор виртуальной реальности не сможет передать среду, в которой ответы на невычислимые вопросы даются по запросу пользователя. Такие среды относятся к средам Кантгоуту. Верно и обратное: каждая среда Кантгоуту соответствует классу математических вопросов («что произошло бы далее в среде, определенной так-то и так-то?»), на которые физически невозможно дать ответ.
Несмотря на то, что невычислимых вопросов бесконечно больше, чем вычислимых, они относятся к разряду эзотерических. Это не случайно. Так происходит потому, что разделы математики, которые мы склонны считать в меньшей степени эзотерическими, — это разделы. отражение которых мы видим в поведении физических объектов в знакомых ситуациях. В таких случаях мы часто можем воспользоваться этими физическими объектами, чтобы ответить на вопросы о соответствующих математических отношениях. Например, мы можем считать на пальцах, потому что физика пальцев естественным образом имитирует арифметику целых чисел от нуля до десяти.
