Если это так, то на каком основании можно принимать ту или иную основу системы счисления за более естественную, чем всякую другую? Ведь в действительности каждая принятая основа счисления имеет свое основание в коллективных представлениях данной социальной группы. На самой низкой ступени, какую только мы можем наблюдать там, где счисление почти чисто конкретное, совершенно отсутствует как основа, так и система счисления. Последовательные движения от мизинца левой руки к мизинцу правой, при постепенном переходе от пальцев левой руки к запястью, локтю и т. д. на левой стороне тела и в обратном порядке по правой стороне тела вплоть до мизинца правой руки не ритмичны, они не имеют ударяемых и неударяемых тактов, не останавливаются на той части тела, которая соответствует 2, 5 или 10. Поэтому Гэддон справедливо говорит, что произносимые слова — названия частей тела, а не имена числительные. Последние возникают только тогда, когда в результате правильной периодичности появляется ритм в последовательных движениях.

Действительно, периодичность чаще всего определяется числом пальцев на руках и на ногах. Иначе говоря, основа «пять» наиболее распространена. Но нельзя быть уверенным, что везде, где мы встречаем эту основу, она имела именно такое происхождение, кажущееся нам столь естественным. Почти все первобытные пользуются пальцами для счета, и часто те, которые не знают пятеричной системы, пользуются пальцами так же хорошо, как и те, которым известно ее применение. Изучение «ручных понятий» весьма поучительно в этом отношении. Вот, например, как считает индеец дене-динджие (Канада). «Вытянув руку (всегда левую) с ладонью, обращенной к лицу, он сгибает мизинец, говоря: „Один — кончик загнут или на кончике“. Затем он загибает безымянный палец, говоря: „Два — загнуто снова“. Дальше он загибает средний палец, прибавляя: „Три — середина загнута“, затем указательный, наконец, показывая большой палец, он говорит: „Четыре — есть только этот“. Далее он раскрывает кулак и говорит: „Пять — это в порядке на моей руке, или на руке, или моя рука“. Дальше индеец, держа вытянутую левую руку, на-которой три пальца сдвинуты вместе, отделяет от них большой и указательный пальцы, к которым приближает большой палец правой руки и говорит: „Шесть — по три с каждой стороны — три да три“. Он сдвигает дальше четыре пальца левой руки, подносит к большому пальцу левой руки большой палец и указательный правой и говорит: „Семь — на одной стороне 4“, или: „Еще три загнуто“, или: „Три с каждой стороны и один посередине“. Он прикладывает три пальца правой руки к отделенному большому пальцу левой руки и, получив таким образом две группы по четыре пальца, говорит: „Четыре“ или: „Четыре с каждой стороны“. Показывая затем мизинец правой руки, который один остается загнутым, он говорит: „Девять — есть еще один внизу“, или: „Одного не хватает“, или: „Мизинец остается внизу“. Наконец, хлопнув руками и сложив их, индеец говорит: „10 — с каждой стороны полно“ или: „Сочтено, сосчитано“. Затем он опять начинает ту же процедуру, говоря: „Полный счет и один и два и — три и т. д.“».

Таким образом, туземец дене-динджие, пользуясь для счета пальцами рук, совершенно не имеет представления о пятеричной основе счисления. Он вовсе не говорит, как это мы часто видим у некоторых других племен, что 6 — второй один, 7 — вторые два, 8 — вторые три и т. д. Напротив, он говорит: 6 — три да три, возвращаясь вновь к руке, пальцы которой он перебрал, и разделяя их, чтобы к двум из них прибавить большой палец другой руки. Это свидетельствует о том, что, сосчитав 5, «кончив руку», он не остановился на данном моменте дольше, чем сосчитав 4 или 6. Таким образом, в этом случае и в других крайне распространенных и схожих с ним принцип периодичности, т. е. то, что сделается основой системы чисел, не содержится ни в самом способе счета, ни в совершаемых движениях.

Основа системы чисел может возникнуть по причинам, не имеющим ничего общего с удобством счета, причем идея арифметического употребления чисел еще не играет никакой роли. Пра-логическое мышление является мистическим, ориентированным по-иному, чем наше. Оно часто с полным безразличием относится к явным объективным свойствам вещей и интересуется, напротив, таинственными и скрытыми свойствами существ. Возможно, например, что основа 4 и четверичная система счисления обязаны своим происхождением тому, что совокупность-число четырех стран света, четырех ветров, четырех цветов, четырех животных и т. п., сопричастных четырем странам света, играет главную роль в коллективных представлениях данного общества. Таким образом, нам вовсе нет нужды разгадывать, напрягая психологическую проницательность, почему четверичная основа могла быть выбрана людьми, которые считали пятью пальцами своей руки. Там, где мы встречаем эту основу, она не была выбрана. Она как бы предсуществовала сама себе, подобно тому как числа предсуществовали себе в тот длинный период, когда они еще не были дифференцированы, когда совокупности-числа занимали место счисления в собственном смысле. Заблуждением было бы думать, что «ум человеческий» сконструировал себе числа для счета: между тем на самом деле люди производили счет путем трудных и сложных приемов, прежде чем выработать понятие о числе как таковом.

Когда числа имеют уже названия, когда общество располагает системой счисления, то из этого еще вовсе не следует, что тем самым числа начинают мыслиться абстрактно. Обычно они, напротив, остаются ассоциированными с представлением о предметах, наиболее часто подвергающихся счету. Так, например, йорубы, имеют довольно замечательную систему, выделяющуюся по тому применению, которое в ней дается вычитанию.

11, 12, 13, 14, 15 = 10 + 1, 10 + 2, 10 + 3, 10 + 4, 10 + 5;

16, 17, 18, 19 = 20 -4, -3, -2, -1;

70 = 20 × 4 — 10;

130 = 20 × 7 — 10 и т. д.

Факт этот, однако, объясняется постоянным употреблением у йорубов монеты, роль которой играют раковины каури: их раскладывают всегда кучками в пять, двадцать, двести и т. д. штук. «Имена числительные, — говорит наблюдатель, сообщающий нам этот факт, — представляются уму йорубов одновременно в двух значениях: во-первых, как число, во-вторых, как та вещь, которую йорубы преимущественно пересчитывают, т. е. каури. Другие предметы пересчитываются лишь путем сравнения с таким же количеством каури, ибо народ без письменности и школы не имеет никакого представления об отвлеченных числах». Это замечание действительно для всех обществ, находящихся на одинаковой ступени развития. Число, хотя оно и имеет соответствующее числительное, остается еще более или менее тесно связанным с конкретным представлением об известном разряде предметов, которые по преимуществу являются объектом счета, например о раковинах, а другого рода предметы подсчитываются путем наложения, так сказать, вторых на первые.

Но, допуская, что эта тесная связь мало-помалу разрывается и числа незаметно начинают представляться самостоятельно, вовсе не следует думать, что они становятся уже отвлеченными, и именно потому, что каждое имеет свое имя числительное. В низших обществах ничто или почти ничто не воспринимается так, как казалось бы естественным для нас. Для их мышления не существует физического факта, который был бы только фактом, образа, который был бы только образом, формы, которая была бы только формой. Все, что воспринимается, включено одновременно в комплекс коллективных представлений, в котором преобладают мистические элементы. Точно так же не существует имени, которое было бы просто и только именем, не существует и имени числительного, которое было бы просто именем числительным. Оставим в стороне практическое применение, которое первобытный человек дает числам, когда он считает, например, сколько ему осталось часов работы или сколько рыбы он поймал. Всякий раз, когда он представляет себе число как число, он по необходимости представляет себе его вместе с каким-нибудь мистическим свойством и качеством, которые принадлежат данному числу и именно ему одному в силу столь же мистических партиципаций. Число и его имя нераздельно выступают проводником этих партиципаций.