В следующей главе мы рассмотрим многообразия более подробно. Топологи пытаются свалить в одну кучу различные объекты, имеющие одинаковую базовую структуру, даже если те совершенно не похожи внешне и даже различаются в отдельных деталях. Так, двухмерные поверхности — при условии их компактности, то есть замкнутости и ограниченности, и ориентируемости (наличии внешней и внутренней стороны) — можно классифицировать по количеству имеющихся дырок: тороидальные поверхности имеют по крайней мере одну дырку, тогда как топологическими сферами называются поверхности, которые дырок не имеют вовсе. Если число дырок для двух подобных поверхностей одинаково, то для тополога они эквивалентны, несмотря на всю разницу в их внешнем виде. Так, и чашка кофе и сушка, которую в нее обмакнули, являются торами первого рода. Тем же, кто предпочитает сушки с молоком, интересно будет узнать, что стакан, из которого они пьют, топологически эквивалентен сфере — его можно получить, протолкнув северный полюс в направлении южного и чуть подкорректировав форму полученного объекта.

Если двухмерный случай был досконально изучен более столетия назад, то ситуация для более высоких размерностей выглядела намного сложнее. «Удивительно, что классификация поверхностей становится проще для пяти измерений и выше, — заметил математик Уорикского университета Джон Д. С. Джонс. — Сложнее всего работать с тремя и четырьмя измерениями».[36] К несчастью, именно случай трех и четырех измерений является важнейшим в физике. Уильям Тёрстон в 1982 году разработал схему классификации трехмерных поверхностей, разделив их на восемь основных типов геометрии. Его гипотеза, известная как гипотеза геометризации Тёрстона, была доказана два десятилетия спустя, о чем вкратце будет рассказано далее.

Атака на четвертое измерение началась примерно в то же время, когда Тёрстон высказал свое смелое предположение. Четырехмерные пространства тяжело не только представлять, но и описывать математически. Чтобы наглядно представить себе четырехмерный объект, вообразите трехмерный объект, форма которого изменяется со временем, например пульсирующий баскетбольный мяч, который периодически сжимается и вновь восстанавливает прежнюю форму. Детальная геометрия таких объектов весьма запутанна, если не сказать больше, однако она является ключом к пониманию того четырехмерного пространства-времени, в котором мы живем.

Некоторые из ключей к разгадке геометрии четырехмерных объектов были найдены в 1982 году, когда Саймон Дональдсон, в то время аспирант Оксфордского университета второго года обучения, опубликовал первую из нескольких статей, посвященных структуре четырехмерного пространства. Чтобы открыть окно в четвертое измерение, Дональдсон воспользовался нелинейными уравнениями в частных производных, разработанными в 1950 году физиками Чжэньнином Янгом и Робертом Миллсом. Уравнения Янга-Миллса, объединяющие сильное взаимодействие, ответственное за поведение кварков и глюонов в атомном ядре, со слабым, связанным с радиоактивным распадом, и электромагнитным — взаимодействием между заряженными частицами — работают именно в четырехмерном пространстве. Вместо того чтобы решать эти уравнения «в лоб», для чего необходимо было бы вначале установить геометрические и топологические особенности соответствующего пространства, Дональдсон подошел к проблеме с другой стороны: он рассудил, что решения уравнений должны содержать в себе информацию о том четырехмерном пространстве, в котором они работают. Точнее, данные решения должны привести к установлению некоторых ключевых величин, характеризующих соответствующие им пространства, — математики называют эти величины инвариантами, — которые впоследствии используются для определения тождественности или различности этих пространств.

Работа Дональдсона не только пролила свет на разыскиваемые им инварианты, но также позволила обнаружить весьма неожиданный и загадочный факт, а именно существование неизвестного прежде класса «экзотических» пространств, возможных только в четырех измерениях. Чтобы объяснить, что в данном контексте значит слово экзотический, необходимо вначале затронуть вопрос о том, какие две поверхности или многообразия можно считать идентичными. У математиков существуют различные методы сравнения многообразий. Первый из них связан с представлением о топологической эквивалентности. Проиллюстрировать этот метод можно при помощи примера со сдутым и накачанным мячом. Два объекта называют топологически идентичными, или гомеоморфными, если один из них можно преобразовать в другой исключительно путем изгиба, сжатия или растяжения, не прибегая к разрезам. Подобный переход от одного многообразия к другому носит название непрерывного отображения. Это отображение является взаимно-однозначным, то есть каждая точка одной поверхности соответствует строго определенной точке другой поверхности. Более того, точки, находившиеся в непосредственной близости друг от друга на первой поверхности, после подобного отображения по-прежнему останутся рядом.

Второй метод сравнения многообразий характеризуется несколько большей утонченностью и строгостью. В этом случае вопрос состоит в том, возможно ли перейти от одного многообразия к другому, не нарушая его гладкости, то есть не вводя так называемые сингулярности, например острые углы или пики на поверхности. Многообразия, эквивалентные в этом смысле, носят название диффеоморфных. Чтобы два многообразия можно было считать диффеоморфными, функция, преобразующая одно многообразие в другое — или, иными словами, переводящая набор координат одного пространства в набор координат второго, — должна быть гладкой — дифференцируемой, то есть иметь производную во всех точках пространства в любой момент времени. График такой функции также должен быть гладким — не иметь никаких «зазубрин» во всех смыслах этого слова — наличие на нем обрывов, участков скачкообразного роста или падения привело бы к тому, что в определенных точках само понятие производной потеряло бы смысл.

В качестве примера рассмотрим сферу, помещенную внутрь эллипсоида — поверхности, имеющей форму дыни, — так, что их центры совпадают. Лучи, проведенные из их общего центра во всех возможных направлениях, соединят точки на сфере с точками на эллипсоиде. Подобная операция может быть проделана для любой точки эллипсоида или сферы. Отображение в данном случае не только является непрерывным и однозначным, но оно также не нарушает гладкости отображаемой поверхности. Функция, связывающая две эти поверхности, также не имеет никаких особенностей — это просто прямая линия без зигзагов, резких поворотов и вообще чего-либо необычного. Таким образом, два рассматриваемых объекта — сферу и эллипсоид — можно назвать как гомеоморфными, так и диффеоморфными.

Рис. 3.12. Геометр Саймон Дональдсон

Противоположным примером является так называемая экзотическая сфера. Экзотической сферой называется гладкое во всех точках семимерное многообразие, которое, тем не менее, невозможно без нарушения гладкости преобразовать в обычную круглую семимерную сферу даже при соблюдении условия непрерывности преобразования. Таким образом, подобные поверхности являются гомеоморфными, но не диффеоморфными. Джон Мильнор, уже упоминавшийся в данной главе, получил медаль Филдса во многом благодаря установлению им факта существования экзотических пространств. До открытия Мильнора многие сомневались в существовании таких пространств, поэтому их и назвали экзотическими.

Плоское евклидово пространство для случая двух измерений является простейшим из всех пространств, которые можно себе представить, — это плоская поверхность, подобная крышке стола, которая простирается бесконечно во всех возможных направлениях. На вопрос, будет ли двухмерный диск, множество точек которого является подмножеством точек плоскости, гомеоморфным и диффеоморфным данной плоскости, можно ответить — да, будет. Можно представить себе толпу людей, стоящих на плоскости, каждый из которых берет в руку краешек диска и идет с ним в направлении от центра диска. Как только они достигнут бесконечности, диск точно, непрерывно и однозначно совпадет с плоскостью. Таким образом, эти объекты идентичны с точки зрения тополога. Очевидно и то, что подобный процесс растягивания диска в радиальном направлении можно проделать без нарушения его гладкости.