Решить задачу Дирихле можно при помощи уже упомянутых ранее шагов, оценивая значения производных нулевого, первого, второго и третьего порядка для точек, лежащих на границе. Но мы должны сделать такие же оценки и для внутренних точек поверхности, поскольку рассматриваемый «мыльный пузырь» может иметь разрывы, сингулярности и другие отклонения от гладкости. Таким образом, общее число оценок равно восьми.
Рис. 5.3. Математик Луис Ниренберг
К началу 1974 года Калаби и Ниренберг, также работавшие над задачей Дирихле, одновременно с нами получили оценку второго порядка. Нахождение оценки нулевого порядка оказалось весьма простой задачей. Ну а оценку первого порядка можно вывести из оценок нулевого и второго порядков. Итак, оставалась только оценка третьего порядка, нахождение которой и открывало путь к решению задачи Дирихле.
Математический аппарат, необходимый для решения этой задачи, возник еще в конце 1950-х. Я еще учился в средней школе, когда Калаби нашел решение главной геометрической задачи, оказавшейся впоследствии решающей в вопросе нахождения оценок третьего порядка для внутренних точек поверхности в случае вещественных уравнений Монжа-Ампера. Сделать вклад в эту область Калаби во многом помогло стечение обстоятельств. В то время он работал над проблемой из области аффинной геометрии (аффинная геометрия представляет собой обобщение евклидовой геометрии, в подробности которого я, будучи весьма далек от этой области, не особо хочу вдаваться), тогда как Ниренберг и Чарльз Левнер из Стэнфордского университета занимались задачей Дирихле для уравнения Монжа-Ампера, но не с гладкой, а с так называемой сингулярной границей, подобной гребню волны. Увидев то уравнение, над которым работали Ниренберг и Левнер, Калаби понял, что оно непосредственно связано с тематикой его работ по аффинной геометрии. Калаби и Ниренберг догадались, как применить результаты Калаби, полученные им в 1950-х годах, к проблеме оценки третьего порядка для внутренних точек поверхности, с которой мы столкнулись в 1970-х. «Многие математические открытия происходят благодаря удачному стечению обстоятельств, такому как это, — заметил Калаби. — Порой стоит попробовать соединить кажущиеся несовместимыми идеи и затем посмотреть, где можно применить то, что получилось в результате».[52]
Позже, в 1974 году, Калаби и Ниренберг объявили, что им удалось найти решение краевой задачи для комплексных уравнений Монжа-Ампера. Впрочем, оказалось, что они допустили ошибку, и оценка третьего порядка для точек, находящихся на границе, по-прежнему отсутствовала.
Вскоре мы с Ченгом представили и свою версию оценки третьего порядка на границе. Это произошло во время обеда, на который Ч. Ш. Черн пригласил нас, чтобы мы составили компанию ему с Ниренбергом. Ниренберг в то время уже был большой шишкой, тогда как мы только окончили университет, поэтому всю ночь перед предполагавшимся обедом мы посвятили проверке нашего доказательства и, к нашему ужасу, обнаружили в нем ошибки. На их исправление и переписывание доказательства нам потребовалась целая ночь. Следующим вечером мы показали наше доказательство Ниренбергу. Он остался им доволен, мы также остались им довольны, так что теперь можно было спокойно наслаждаться обедом. Но уже после обеда мы с Ченгом заново просмотрели доказательство и нашли в нем новые ошибки. Только через шесть месяцев после этого, в самом конце 1974 года, мы закончили работу над краевой задачей. Нам удалось решить ее путем исследования уравнения, близкого к тому, над которым работали Левнер и Ниренберг, только для более высоких размерностей. Метод, который мы использовали, позволял не принимать во внимание оценку третьего порядка, делая ее необязательной.
Закончив эту работу, я был готов приступить к комплексному варианту гипотезы Калаби — задаче, которая, в отличие от задачи Дирихле, сформулированной для комплексного евклидова пространства, относилась к случаю комплексного многообразия. Мое стремление как можно быстрее приступить к ее доказательству было столь сильным, что к публикации статьи, посвященной задаче Дирихле, мы смогли вернуться только через пять лет — в 1979 году.
Когда задача Дирихле осталась позади, большая часть оставшейся работы представляла собой обобщение или, иными словами, перевод оценок, сделанных для вещественных уравнений Монжа-Ампера, в оценки для комплексных уравнений. Этот путь мне пришлось преодолевать уже в одиночку, поскольку дороги Ченга лежали немного в другом направлении.
Когда-то, в 1974 году, Калаби и Ниренберг совместно с Дж. Дж. Коном из Принстона уже начинали работу над комплексной разновидностью задачи Дирихле в евклидовом пространстве. Они добились определенных успехов в исследовании оценок третьего порядка, так что мне оставалось применить их результаты к случаю искривленного пространства. В том же году у меня возникли некоторые идеи по поводу нахождения оценок второго порядка для гипотезы Калаби, при этом я опирался на собственную работу 1972 года, посвященную так называемой лемме Шварца. Эта лемма, или мини-теорема, появилась еще в XIX столетии и не имела ничего общего с геометрией, до тех пор пока в первой половине XX столетия она не была переосмыслена профессором Гарвардского университета Ларсом Альфорсом. Теорема Альфорса относилась только к римановым поверхностям, имеющим по определению одно комплексное измерение, но мне удалось обобщить ее для случая любой комплексной размерности.
Приготовления к поиску оценки второго порядка для гипотезы Калаби я закончил летом 1975 года. Год спустя я узнал, что французский математик Тьерри Обен нашел подход к данной оценке независимо от меня. Сделав оценку второго порядка, я также показал ее зависимость от оценки нулевого порядка и продемонстрировал возможность перехода от нулевого порядка ко второму. После окончания работы над этой оценкой оставался только один нерешенный вопрос, от которого теперь зависела судьба всего доказательства, — нахождение оценки нулевого порядка. Из оценки нулевого порядка я уже мог получить оценку как второго, так и первого порядка — в качестве бесплатного приложения к уже найденным, поскольку из оценок нулевого и второго порядков оценка первого порядка следует автоматически. Это было чистой воды везение. Фигурально выражаясь, так легли карты и, в целом, легли они весьма неплохо. Оценка третьего порядка также оказалась зависящей от оценок нулевого и второго порядков — то есть все свелось к нахождению оценки нулевого порядка. Знание этой оценки должно было расставить все остальное на свои места, но без нее все прочее было бы бессмысленно.
Свою работу я заканчивал в Курантовском институте Нью-Йорка, находясь на должности приглашенного сотрудника — эту должность мне помог занять Ниренберг. Вскоре моя невеста Ю-Юн, работавшая до этого в Принстоне, получила предложение работы в Лос-Анджелесе. Не желая разлучаться с ней, я занял другую приглашенную должность в Калифорнийском университете. В 1976 году мы вместе проехали всю страну с востока на запад, собираясь заключить брак сразу же по прибытии в Калифорнию. И действительно, прибыв в Калифорнию, мы тут же обвенчались. Эта поездка запомнилась нам надолго: мы были влюблены друг в друга, природа вокруг поражала своей красотой и большую часть пути мы строили планы на будущую совместную жизнь. Но все же я должен признаться, что даже тогда было нечто, что не давало мне покоя: в моей голове по-прежнему крепко сидела гипотеза Калаби и, в частности, оценка нулевого порядка, которая никак мне не поддавалась. Целый год я бился над ее поисками. В сентябре 1976 года, сразу после нашей свадьбы, мои усилия, наконец, увенчались успехом, и остальные части доказательства тут же встали на свои места. Как оказалось, семейная жизнь была именно тем, чего мне недоставало.
Задача нахождения оценки нулевого порядка аналогична нахождению оценок других порядков: на некое уравнение или функцию необходимо наложить ограничения — как сверху, так и снизу. Иными словами, функцию нужно поместить в воображаемый ящик и показать, что функция «влезет» в него, даже если размеры ящика не будут бесконечно велики. Если это возможно сделать, то функцию можно считать ограниченной сверху. С другой стороны, нужно показать, что функция не настолько мала, чтобы каким-либо образом «просочиться» за пределы ящика, таким образом ограничив ее снизу.
