Теория множеств Кантора очень далеко ("бесконечно далеко") выходит за рамки чувственного опыта. Вообще говоря, никакие суждения относительно бесконечных множеств не могут быть эмпирически проверяемы:
Всякая теорема математики должна быть доступна проверке. Когда я высказываю эту теорему, я утверждаю, что все проверки, которые я испробую, приведут к желаемому результату, и даже если одна из этих проверок требует труда, превосходящего человеческие силы, я утверждаю, что если много поколений сочтут нужным заняться этой проверкой, то и в этом случае она удастся. Теорема не имеет другого смысла; это остается верным и тогда, когда в ее формулировке говорится о бесконечных числах; но так как все проверки могут быть проведены только для конечных чисел, то отсюда следует, что всякая теорема, относящаяся к бесконечным числам или вообще к тому, что называется бесконечным множеством... не может быть ничем иным, как сокращенным способом формулирования предложений, относящихся к конечным числам (А. Пуанкаре, О науке, с. 466).
Большие сомнения у многих математиков вызывала, например, аксиома выбора Цермело (если имеется любой набор - конечный или бесконечный множеств, то всегда можно образовать новое множество, выбрав по одному элементу из каждого множества, входящего в набор). С ее использованием доказываются весьма странные утверждения, скажем, теорема Банаха - Тарского. Согласно этой теореме, любое выпуклое тело можно разрезать на конечное число кусков таким образом, что, переставив их, мы получим выпуклое тело любого другого размера. Очевидно, что мир, описываемый аксиоматикой Цермело-Френкеля не может быть нашим физическим миром, где ничего подобного сделать нельзя. С другой стороны, отказ от аксиомы выбора существенно обедняет классическую математику. Возможно, правильный выход из этого тупика (согласно Пенроузу) состоит в допущении, что канторова теория множеств описывает платоновский мир математических идей, некоторые из которых имеют соответствие в нашем физическом мире. Ясно, однако, что слишком для многих математиков такой вывод окажется философски неприемлемым.
В то же время, канторова теория по-видимому не противоречит структуре человеческого мышления. Можно думать, что понятие континуума как некоторой первичной сущности, не сводимой к счетным множествам, действительно присуще человеческой психике. Каждый человек обладает, вероятно, зачатками топологического мышления, основанного на идее непрерывности. Г. Вейль говорил (Математическое мышление, с. 24-41) об абстрактной алгебре и топологии как двух альтернативных способах математического мышления (по выражению Вейля, за душу каждого математика борются ангел топологии и бес абстрактной алгебры). На уровне физиологии различные виды мышления связываются с полушариями человеческого мозга (правополушарное мышление непрерывное, образы, топология, левополушарное мышление - логическое, символы, буквы, слова, дискретное, алгебра). Ф. Меррелл-Вольф (в книге "Математика, философия и йога") связывает "обычное" двойственное сознание с дискретным пространством, а "просветленное" недвойственное сознание - с непрерывным пространством, используя также аналогию с канторовой теорией множеств.
Интересно сопоставить два главных типа математического мышления с психологической классификацией личностей (см. книгу К.Г. Юнга "Психологические типы" или труды по модной сейчас науке - соционике, напр., Е. Филатова, Соционика для вас, Новосибирск, 1994). Для это нужно принять во внимание, что в соответствии с данными психологических исследований пространство в восприятии человека обычно ассоциируется с непрерывной средой (символика воды, моря и т.д., см. главу 11), а восприятие времени дискретно (см. главу 15). В соционике восприятие преимущественно пространственных или временных отношений связывают с сенсорным или интуитивным типом личности, соответственно. Можно предположить наличие некоторых корреляций между этим делением и делением математиков на "геометров" и "алгебраистов" (на такую мысль наводят, в частности, интересные психологические наблюдения в книге Р. Пенроуза "Новый разум императора", однако вопрос нуждается в дальнейших исследованиях). Между прочим, в соционике для характеристики различных типов личности и межличностных взаимодействий широко используется геометрическая символика. Хотя подобное использование математики выглядит несколько бедным и искусственным по сравнению с ее применением в естественных науках, оно лишний раз подчеркивает психологическую нагрузку математических символов.
До некоторой степени противопоставление "счетного" мышления, основанного на понятии (натурального) числа, и топологического мышления, основанного на понятии непрерывности, соответствует различию количественного и качественного подходов. Современная математика является не только количественной, но и все больше развивает методы качественного анализа. Здесь уместно привести слова Руми:
Вы принадлежите к миру измерений, но пришли вы оттуда, где нет никаких измерений. Закройте первую лавку, пора открывать вторую.
Как мы отмечали выше, речь здесь идет о топологии, качественно исследующей свойства пространств и многообразий. С ней связаны такие дисциплины, как созданная Пуанкаре качественная теория дифференциальных уравнений, теория бифуркаций и теория особенностей гладких отображений; приложение этих теорий к широкому кругу естественнонаучных и даже социальных проблем получило известность под названием теории катастроф. Качественная сторона математики подчеркивается и в известном высказывании А. Пуанкаре:
Математика - это искусство называть разные вещи одинаковыми именами.
Слово "имена" (возможно, употребленное бессознательно) подчеркивает связь математики с определенной символической системой. "Символическая" основа естественных наук обсуждается в работах П.Флоренского.
Совокупные усилия [физиков и философов - Маха, Авенариуса, Гельмгольца...] утвердили общество в мысли, что действительно физическая теория есть не более как символическое описание, упрощенное и упорядоченное описание, хотя, кстати сказать, доныне еще не стало ясным, чего именно описание есть физика...
Метод познания природы, по Герцу, заключается в следующем: "... Мы создаем себе внутренние образы или символы внешних предметов и создаем мы их такими, чтобы логически необходимые последствия таких образов были всегда образами естественно необходимых изображаемых в них предметов" (П.Флоренский, Наука как символическое описание).
По словам В.Паули (см. K.V. Laurikainen, р.59), реальность символична по самой своей природе (в том смысле, как использовал слово "символ" Юнг). При этом, как отмечалось выше, математические символы скорее всего связаны с высшими (трансперсональными) уровнями человеческой психики. По-видимому, в этом ключе можно трактовать на языке современной психологии обсуждавшиеся выше "платонистские" представления о существовании особого "божественного" мира математических идей. Правда, юнговское понятие архетипа не вполне соответствует платоновскому представлению об идее: "платоновская идея статична, архетип является динамическим" (см. Laurikainen, цит. соч.). Более общий взгляд на архетип и его проникновение в мир обсуждается в рассказе Борхеса о дворце монгольского императора Кубла Хана.
Во сне Колриджа случайно прочитанный текст стал разрастаться и умножаться; спящему человеку грезились вереницы зрительных образов и даже попросту слов, их описывающих; через несколько часов он проснулся с убеждением, что сочинил - или воспринял - поэму примерно в триста строк... Первому сновидцу было послано ночью видение дворца, и он его построил; второму, который не знал о сне первого, - поэма о дворце. Если эта схема верна, то в какую-то ночь, от которой нас отделяют века, некоему читателю "Кубла Хана" привидится во сне статуя или музыка... и, быть может, этому ряду снов не будет конца, а ключ к ним окажется в последнем из них... Возможно, что еще неизвестный людям архетип, некий вечный объект (в терминологии Уайтхеда) постепенно входит в мир; первым его проявлением был дворец, вторым - поэма. Если бы кто-то попытался их сравнить, он, возможно, увидел бы, что по сути они тождественны (Сон Колриджа).
