Рис. 109. Опыт, поясняющий преломление света.
В малом виде вы можете воспроизвести это наглядное подобие преломления света у себя на столе. Накройте половину стола скатертью (рис. 109) и, слегка наклонив стол, заставьте скатываться по нему пару колесиков, наглухо посаженных на общую ось (например, от сломанного детского паровоза или другой игрушки). Если направление движения колес и край скатерти составляют прямой угол, преломления пути не происходит. Вы имеете в этом случае иллюстрацию оптического правила: луч, перпендикулярный к плоскости раздела сред, не преломляется. При направлении, наклонном к краю скатерти, путь колес изламывается на этом краю, т. е. на границе между средами с различной скоростью движения в них. Легко заметить, что при переходе из части стола, где скорость движения больше (непокрытая часть), в ту часть, где скорость меньше (скатерть), направление пути (“луч”) приближается к “перпендикуляру падения”. В обратном случае наблюдается удаление от этого перпендикуляра.
Из этого можно, между прочим, почерпнуть важное указание, вскрывающее сущность рассматриваемого явления, а именно, что преломление обусловлено различием скорости света в обеих средах. Чем больше различие в скорости, тем значительнее преломление; так называемый “показатель преломления”, характеризующий величину излома лучей, есть не что иное, как отношение этих скоростей. Когда вы читаете, что показатель преломления при переходе из воздуха в воду есть 4/3, то вы, вместе с тем, узнаёте, что свет движется в воздухе примерно в 1,3 раза скорее, чем в воде.
А в связи с этим находится и другая поучительная особенность распространения света. Если в случае отражения световой луч следует кратчайшим путем, то в случае преломления он избирает скорейший путь: никакое другое направление не приводит луч так скоро к “месту назначения”, как этот изломанный путь.
Но неужели ломаный путь может быстрее привести к цели, чем прямой? Да, в тех случаях, когда скорость движения в различных частях пути различна. Вспомните, что приходится делать жителям деревни, расположенной между двумя железнодорожными станциями в соседстве с одной из них. Чтобы попасть скорее на дальнюю станцию, они едут на лошади сначала в обратном направлении, к ближайшей станции, там садятся в поезд и едут на место назначения. Им короче было бы, разумеется, прямо ехать туда на лошади, но они предпочитают более длинный путь на лошади и в вагоне, потому что он приводит к цели скорее.
Рис. 110. Задача о кавалеристе. Найти скорейший путь из A в С.
Рис. 111. Решение задачи о кавалеристе. Скорейший путь АМС.
Уделим минуту внимания еще одному примеру. Кавалерист должен прибыть с донесением из точки А к палатке командира в точке C (рис. 110). Его отделяют от палатки полоса глубокого песка и полоса луга, разграниченные между собой прямой линией EF, По песчаной почве лошадь движется вдвое медленнее, чем по лугу. Какой же путь должен выбрать кавалерист, чтобы достигнуть палатки в кратчайшее время?
Рис. 112. Что такое синус? Отношение m к радиусу есть синус угла 1, отношение n к радиусу — синус угла 2.
На первый взгляд кажется, что самый скорый путь — прямая линия, проведенная от A до С. Но это совершенно ошибочно, и я не думаю, чтобы нашелся кавалерист, который выбрал бы такой путь. Медленное движение по песку наведет его на правильную мысль сократить эту медленную часть пути, прорезав песчаную полосу по менее косой линии; конечно, тем самым удлинится вторая часть пути — по лугу; но так как по лугу можно двигаться вдвое быстрее, то удлинение пути не перевесит полученной выгоды, и в общем итоге путь будет проделан в меньший промежуток времени. Другими словами, путь кавалериста должен преломиться на границе обоих родов почвы и притом так, чтобы путь по лугу составлял с перпендикуляром к границе больший угол, чем путь по песчаной почве.
Кто знаком с геометрией, именно с теоремой Пифагора, тот может проверить, что прямой путь AC действительно не является путем скорейшим и что при тех размерах для ширины полос и расстояний, которые мы здесь имеем в виду, можно скорее достичь цели, если направиться, например, по ломаной АЕС (рис. 111).
На рис. 110 указано, что ширина песчаной полосы 2 км, луговой — 3 км, а расстояние ВС — 7 км. Тогда вся длина AC (рис. 111) равна, по теореме Пифагора, корень(52 + 72) = корень(74) = 8,60 км. Часть AN — путь по песку — этого отрезка составляет, как легко сообразить, 2/5 этой величины, т. е. 3,44 км. Так как по песку движение происходит вдвое медленнее, чем по лугу, то 3,44 км песчаного пути равнозначны, в смысле требуемого времени, 6,88 км по лугу. И, следовательно, весь смешанный путь по прямой АС, равный 8,60 км, соответствует 12,04 км пути по лугу.
Сделаем такое же “приведение к лугу” и для ломаного пути АЕС. Часть АЕ = 2 км и соответствует 4 км пути по лугу. Часть ЕС = корень(32 + 72) = корень(58) = 7,61 км. Итого весь ломаный путь AEC отвечает 4 + 7,61 = 11,61 км.
Итак, “короткий” прямой путь соответствует 12,04 км движения по лугу, а “длинный” ломаный — всего только 11,61 км по той же почве. “Длинный” путь, как видите, дает выгоду в 12,04 — 11,61 = 0,43, почти в полкилометра!
Но мы не указали еще самого быстрого пути. Быстрейший путь, как учит теория, будет тот, при котором (нам придется здесь обратиться к услугам тригонометрии) синус угла b относится к синусу угла A, как скорость на лугу относится к скорости на песке, т. е. как 2:1. Другими словами, нужно выбрать направление так, чтобы sin b был вдвое больше sin а. Для этого нужно перешагнуть границу между полосами в такой точке m, которая находится в одном километре от Е. Действительно, тогда sin b = 6/(корень(32 + 62)), sin a = 1/(корень(1 + 22)), отношение sin b / sin a = (6 / корень(45)) / (1 / (3*корень(5))) = (6/(3*корень(5))) / (1/корень(5)) = 2, т. е. как раз отношению скоростей.
А какова будет в таком случае “приведенная к лугу” длина пути? Вычислим: AM = корень(22 + 12). что отвечает 4,47 км пути по лугу. МС = корень(45) = 6,71 км. Длина всего пути 4,47 + 6,71 = 11,18, т. е. на 860 км короче прямолинейного пути, который, как мы уже знаем, соответствует 12,04 км.
Вы видите, какие выгоды доставляет при данных условиях изламывание пути. Световой луч как раз и избирает такой скорейший путь, потому что закон преломления света строго удовлетворяет требованию математического решения задачи: синус угла преломления относится к синусу угла падения, как скорость света в новой среде к скорости его в покидаемой среде; с другой стороны, это отношение равно показателю преломления света в указанных средах.
Объединяя в одно правило особенности и отражения и преломления, мы можем сказать, что световой луч во всех случаях следует по быстрейшему пути, т. е. подчиняется правилу, которое физики называют “принципом скорейшего прихода” (принцип Ферма).
Если среда неоднородна и ее преломляющая способность меняется постепенно, как, например, в нашей атмосфере, то и в таком случае вполне осуществляется быстрейший приход. Этим объясняется то небольшое искривление лучей небесных светил в атмосфере, которое на языке астрономов называется “атмосферной рефракцией”. В атмосфере, постепенно уплотняющейся книзу, луч света изгибается так, что вогнутость его обращена к Земле. Тогда луч остается дольше в высоких слоях, которые слабее замедляют его путь, и проводит меньше времени в “медленных” низких слоях, в итоге он приходит к цели быстрее, чем по пути строго прямолинейному.
Принцип быстрейшего прихода (принцип Ферма) справедлив не для одних лишь световых явлений: ему в полной мере подчиняется также распространение звука и всех вообще волнообразных движений, какова бы ни была природа этих волн.
