Нетрудно проверить, что каждая из 17 схем аксиом задает верное равенство. Проверим это, например, для схемы аксиом 6 (табл. 8).

Мы видим, что колонки нулей и единиц для схем формул (α V (β & γ)) и ((а V β) & (α V γ)) создают, что означает: при любом выборе α, β, γ они переходят в пару формул, задающих одну и ту же функцию. Таким образец, можно сказать, что схема аксиом 6 в нашей интерпретации оказывается схемой верных равенств.

Наконец, нетрудно проверить (эту проверку мы предоставляем читателю), что, действуя по нашим правилам вывода, мы из верного равенства всегда будем выводить верное же равенство.

В силу оказанного мы можем мыслить задаваемый нашим исчислением процесс порождения верных равенств. В этом процессе участвуют схемы аксиом, каждая из которых порождает бесконечно много верных равенств, и правила [b], при каждом применении! которых к верным равенствам порождается верное равенство. Как конкретно проходит подобный процесс порождения, мы покажем в связи со следующей интерпретацией — логической.

Логическая интерпретация (на высказываниях)

Будем понимать под высказыванием выражение некоторого языка (безразлично какого —естественного, например русского, или какого-либо искусственного, например алгоритмического, применяемого в программировании! ЭВМ), которое либо истинно, либо ложно (и не может быть тем и другим одновременно). Назовем истинность («истинно») и ложность («ложно») истинностными значениями высказываний. Будем считать, что на место пропозициональных переменных в формулы подставляются высказываний при этом если подставляется высказывание, обладающее истинностным значением «истинно» (соответственно «ложно»), то его же принимает и та пропорциональная переменная, на место которой подставлено данное высказывание.

Связки определим так же, как и в первой интерпретации, только вместо 1 в таблицах будем вписывать букву «и» («истинно»), а вместо 0 — «л» («ложно»). Тогда операция ~ окажется операцией обычного отрицания высказываний, формула ~α походит в истинное высказывание, если а при данной подстановке истинностных значений вместо всех своих переменных переходит в ложное высказывание, и в ложное высказывание, если а переходит в истинное высказывание^[15]; операция & (конъюнкция) окажется соответствующей логическому союзу «и» и будет порождать истинное высказывание вида (α & β) тогда, и только тогда, когда а и β истинны (то есть интерпретируются истинными высказываниями); операция V будет соответствовать слабой дизъюнкции, то есть соединительно-разделительному союзу «или» естественного языка: формула (а V β) принимает значение «истинно» тогда, когда хотя бы одна из двух формул, а, β, переходит в истинное высказывание. Что касается введенных по определению знаков → и ≡, то первый из них соответствует логическому союзу «если..., то» (логическая операция импликация), а второй — союзу «если, и только если,..., то» (или «тогда, и только тогда, когда») (логическая операция эквиваленция).

Нетрудно убедиться, что (α → β) переходит в ложное высказывание, когда а (посылка, или антецедент, импликативного выражения) принимает значение «истинно», а β (заключение, или консеквент) — значение «ложно», в остальных же случаях импликативное выражение истинно; эквивалентность (а ≡ β) переходит в истинное высказывание в том, и только том, случае, когда а и β принимают одно и то же истинностное значение^[16].

При данной интерпретации каждая формула оказывается формой высказывания, или пропозициональной формой, то есть выражением, переходящим в высказывание (истинностное значение) при подстановке каких-то высказываний (истинностных значений) вместо всех ее пропозициональных переменных. Значение такой формы для всех возможных подстановок такого рода задается таблицей истинности, которая строится по данной формуле. Так, форме (~A1 & (A2 V ~A1)) соответствует следующая таблица (табл. 9; ср. табл. 6). В табл. 9 мы опустили промежуточные колонки, которые необходимы для того, чтобы получить ее правую колонку (они получаются из табл. 6 заменой «1» на «и», а «0» на «л» в колонках для формул ~А1 и (A2 V ~A1)).

Формулам, тождественно-равным единице (в предшествующей интерпретации), здесь соответствуют формы высказываний, принимающие значение «истинно» при любых значениях своих пропозициональных переменных (их называют тождественно-истинными формами высказываний или просто тождественно-истинными высказываниями); любая из таких форм может считаться интерпретацией константы 1. Формулам же, которые в предшествующей интерпретации были тождественно-равными нулю, теперь соответствуют тождественно-ложные высказывания (тождественно-ложные формы высказываний), и любое из таких высказываний есть интерпретация константы 0.

Равенство двух формул означает утверждение, что справа и слева от знака равенства стоят формы высказываний, принимающие одно и то же истинностное значение при любых значениях входящих в них пропозициональных переменных (равносильные формы высказываний); если это утверждение справедливо, то данное равенство 5 следует признать верным, в противном случае оно неверно.

В данной интерпретации особую роль играют тождественно-истинные высказывания. Некоторые из них выражают фундаментальные закономерности мышления. Таковы, в частности, формы высказываний ~(а & ~а) и (а V ~а) которые выражают логические законы, называемые соответственно законом противоречия и законом исключенного третьего (импликативное выражение (а → а) соответствует закону тождества)^[17]. Тождественно-истинные высказывания используются для определения важного понятия логического следования. Поясним это понятие.

Среди объектов, фигурировавших при построении нашей формальной системы, смысл логического следования ближе всего передает импликация. В самом деле, когда утверждается «Из α логически следует β», имеют в виду, что не может быть, чтобы α было верно, а β неверно, то есть «Если α, то (обязательно) β». Говоря точнее, логическое следование означает, что какие бы значения ни принимали пропозициональные переменные в посылке α и заключении β, всегда верно, что «если α, то β», то есть, что форма (~α V β) —по определению записываемая импликативным выражением (α → β) — тождественно-истинна. Отсюда получается метод определения следования заключения из посылок: надо образовать импликативное выражение, в котором антецедентом является посылка (или конъюнкция посылок, если их несколько), выраженная в виде формы высказывания, а консеквентом — предполагаемое заключение, также представленное в виде формы; если полученное импликативное выражение тождественно-истинно, то предполагаемое заключение действительно является таковым, то есть логически следует из посылки (посылок), в противном случае —не является.

Покажем, как удостоверяется следование заключения из посылок на уже знакомом нам примере силлогистического модуса Celarent. Представим посылку «Ни одно B не есть С» в виде «Если А1 то не-A2» то есть (A1 → ~А2), что является сокращением для формы (~А1 V ~\А2) здесь А1 и ~A2 суть пропозициональные формы, соответствующие выражениям «Нечто принадлежит классу В» и «Нечто принадлежит классу не-С (то есть дополнению к классу С)» в высказывании «Если нечто принадлежит классу B, то оно принадлежит классу не-С», которое можно считать совпадающим по смыслу с данной посылкой. Посылку «Все A суть B», используя тот же прием, запишем в виде (А3 → А1) заключение «Ни одно A не есть С» перейдет тогда в (A3 → ~А2). Образуем импликативное выражение (((A1 → ~A2) & (А3 → А1)) → (А3 → ~А2)) и проверим с помощью таблиц истинности, является ли это выражение тождественно-истинным. Табл. 10 показывает, что оно будет таковым.