Отказ от всеобщности «исключения третьего» в применении к бесконечным совокупностям влечет за собой серьезные перемены в логике. В частности, из отвержения альтернативы ~а — то есть доказательства того, что верно ~~a — заключать к верности альтернативы а по Брауэру в общем случае недопустимо^[4]. Например, если предположение, что среди элементов некоторого бесконечного множества не существует объекта с определенными свойствами, ведет к нелепости (и, значит, отвергается), то отсюда, тем не менее, не следует, что объект с этими свойствами существует.

4. С предшествующим тезисом тесно связана конструктивистская установка интуиционистской математики. Поскольку принцип исключенного третьего, примененный к бесконечным множествам, не гарантирует правильности рассуждения, единственным способом доказательства существования математических объектов является их фактическое построение. Обратим внимание на этот важнейший тезис — зародыш другого современного направления в математике — конструктивное направления.

5. Хотя математика создается разумом, она приложима к окружающему миру. Математические символы не лишены содержательного смысла; хотя они указывают на определенные объекты, данные в интуиции, объекты эти тесно связаны с реальными процессами, происходящими во Вселенной. Интуицию, однако, нельзя выразить никакими строгими определениями, и поэтому интуиционисты отказываются эксплицировать общее понятие «способа построения», полагая, что невозможно заранее предвидеть все приемы рассуждения, которые могут оказаться интуитивно убедительными.

Заметим, что в этом пункте от интуиционизма резко отличается конструктивное направление в математике, всходящее из тезиса, что конструктивная деятельность в этой науке адекватно передается понятием алгоритма (см. гл. 7).

Как мы видим, если практические выводы в отношении построения математики более или менее четки (отбрасывание логицизма, ограничение логического принципа исключенного третьего, требование конструктивности доказательств существования), то учение о «глубинной интуиции» разума остается сугубо неясным. Самое большее, что мы можем сделать, чтобы пролить свет на этот пункт, это привести «разъяснения» самого Брауэра, сделанные им (без особой надежды на понимание аудитории) на Международном конгрессе по философии, состоявшемся в Амстердаме в августе 1948 года^[5].

«Прежде всего мы должны уяснить все фазы сознания, совершающего переход от своих глубин к внешнему миру, в котором мы сотрудничаем и ищем взаимопонимания. Данное мое выступление вовсе не рассчитано на непременное наличие такого взаимопонимания, и, в некотором смысле, его можно рассматривать как монолог...

Сознание в своем глубинном убежище, как можно думать, медленно и пассивно совершает колебания между состояниями покоя и чувствования. По-видимому. лишь в состоянии чувствования становится возможным первый акт упомянутого перехода. Этим актом является движение времени. С помощью движения времени имеющееся в данный момент чувствование переходит в чувствование в другой момент, так что сознание сохраняет первое как имевшееся в прошлом; более того, благодаря различению настоящего и прошедшего, сознание отходит от них обоих, выходит из пассивного состояния, и так возникает мышление.

В форме мышления сознание выступает как субъект, переживающий чувствование в настоящем — так же как и прошедшее чувствование — в качестве объекта. А путем повторения этого процесса удвоения объект может быть расширен до всего множественного и пестрого мира чувствований.

...Математика возникает в тот момент, когда субъект лишает это порождаемое движением времени удвоение всех качеств и когда остающаяся пустая форма общего субстрата всякого удвоения подвергается, в качестве глубинней математической интуиции, неограниченному раскрытию, порождая новые математические сущности в форме предопределенных или более или менее свободно формирующихся бесконечных последовательностей полученных прежде математических сущностей, и в форме математических видов, то есть свойств, которые мы предполагали присущими прежде полученным математическим сущностям и удовлетворяющим тому условию, что если они присущи определенной математической сущности, то они присущи и всем другим одинаковым с ней сущностям».

Обратим внимание на три важных вывода, следующих из аутентичного изложения платформы интуиционистской математики, которое мы только что привели. Во-первых, интуиция, о которой все время идет речь у Брауэра и его последователей, является интуицией разума, и ничего общего не имеет с мистической интуицией чувства, которая фигурирует у философов типа Ф.В. Шеллинга, К. Ясперса, Ж.П. Сартра и т. д.; математический интуиционизм есть нечто не похожее на философский интуитивизм. Он более родствен рационалистическому «интуиционизму» Декарта, выраженному, скажем, в следующих словах последнего:

«Под интуицией я разумею не веру в шаткое свидетельство чувств и не обманчивое суждение беспорядочного воображения, но понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчетливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим»^[6]. Во-вторых, из слов Брауэра можно определенно заключить, что «глубинная интуиция» разума, порождающая математику, одинакова у всех людей; поэтому математика в этом смысле объективна, не произвольна. В-третьих, интуиция разума не зависит от языка; языковые средства нужны лишь для того, чтобы (не адекватно) сообщать результаты деятельности интуиции другим людям.

Анализируя эти установки Брауэра, нетрудно обнаружить их несоответствие с известными науке фактами. Данные современной психологии все увереннее говорят о том, что осознанного результата мыслительного акта не существует вне языка или, во всяком случае, вне какой-то знаковой системы. Принятие же одинаковости изначальной интуиции разума у всех людей очень напоминает утверждение Канта о неизбежности восприятия мира людьми через априорную категорию времени — утверждение, расходящееся с результатами психологических исследований поведения детей, в частности, исследования Ж. Пиаже и его школы^[7].

Отечественное конструктивное направление, продолжающее критическую линию интуиционизма в отношении классической математики, отвергает философскую концепцию Брауэра. На место «интуиции» конструктивисты выдвигают понятие умственного построения, проясняемое с помощью понятия алгоритма (см. гл. 7). При этом, как указывает создатель отечественной школы конструктивной математики А. А. Марков, «умственные построения, такие, например, как построения все больших и больших натуральных чисел, обычно являются слепками с построений материальных, осуществляемых в окружающей нас действительности»^[8].

Перейдем, однако, к чисто математическому аспекту брауэровской платформы. Ядром здесь является установка на конструктивность^[9] и отрицание универсальности закона исключенного третьего — два положения, которые в интуиционистском истолковании являются родственными. Пример поможет понять сущность дела.

Возьмем теорему Больцано — Вейерштрасса о наличии у ограниченной числовой последовательности точки сгущения. Под точкой сгущения последовательности понимается точка числовой оси, к которой как угодно близко подходят точки, представляющие числа данной последовательности. Скажем, для последовательности 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...точкой сгущения является нулевая точка, так как какое бы сколь угодно малое положительное число е мы ни взяли, для него обязательно отыщется член нашей последовательности, отличающийся по своей абсолютной величине от нуля меньше, чем на е.

Теорема Больцано — Вейерштрасса доказывается с помощью дихотомии. Ограниченная последовательность (по определению) может быть целиком заключена в пределы некоторого отрезка числовой оси. Разделим этот отрезок пополам. По меньшей мере на одной из его половин (а может и на обеих) имеется бесконечное множество точек последовательности, иначе, если бы на обеих половинах было конечное число точек, то их вообще было бы конечное число, что противоречит предположению о бесконечности последовательности. Возьмем как раз ту половину, где имеется бесконечное множество точек последовательности, разделим ее снова пополам и повторим рассуждение. В конце концов (при бесконечном продолжении процесса) мы придем к единственной точке, принадлежащей всем нашим уменьшающимся вдвое отрезкам, — это и будет точка сгущения.