В такой постановке проблема становится серьезной.
8. ВОЗМОЖНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН И ЧЕЛОВЕК
Множественность типов вычислимости есть та основа, которая позволяет подвергнуть анализу запутанный клубок проблем, относящихся к вопросу: «Что может делать электронная вычислительная машина?». ЭВМ в первом приближении можно охарактеризовать как гигантский арифмометр, работающий с огромной скоростью. Однако это — только в первом приближении: по сравнению с арифмометром у ЭВМ имеются две принципиально важные конструктивные особенности.
Обычный арифмометр (например, марки «Феликс») после выполнения заданной ему операции сложения, умножения и т. д, прекращает работу и ждет дальнейших «распоряжений». Чтобы выполнить с помощью арифмометра действие над полученным результатом, нужно западе набрать последний на его клавиатуре и нажать на соответствующую кнопку, а если арифмометр не электрический, то покрутить ручку. Электронная вычислительная машина может повторять арифметическую операцию сколько угодно раз подряд, беря в качестве исходных данных числа, полученные ею на одном из предыдущих этапов. На арифмометре, например, легко можно прибавить к любому числу единицу, но чтобы после этого сделать еще что-то, требуется новое вмешательство человека.
ЭВМ же может быть введена в такой режим, когда она будет возвращаться к собственному результату без дальнейших распоряжений и станет осуществлять потенциально бесконечный процесс многократного применения функции «число, непосредственно следующее за...», то есть последовательного получения возрастающих натуральных чисел. Вторым отличием электронной вычислительной машины от обычного арифмометра является то, что она умеет выполнять простейший условный оператор — проверять, равно ли нулю некоторое число, и в зависимости от этого производить одно или другое действие. Таковы принципиальные отличия современного «супермозга» от арифмометра, а значит, и от счетов, а значит, и от десяти пальцев математиков каменного века. «Непринципиальное» отличие относится к скорости действия и объему памяти. Но количество здесь переходит в качество.
Знакомство с основными результатами современной математической логики, теории логического вывода и теории вычислимости (теории алгоритмов) позволяет понять почему «большой арифмометр», дополненный двумя упомянутыми усовершенствованиями, «может делать все».
Начнем с его способности проверять условия. Проверка элементарного условия x = 0 для электронного автомата несложна[1]. Предположим теперь, что число x получается как результат вычисления некоторой одноместной общерекурсивной[2] функции f. Отсюда сразу следует, что машина способна проверять истинность любого общерекурсивного предиката f(у) = 0. Но способна ли ЭВМ, хотя бы в принципе, вычислять значения любой общерекурсивной функции?
Функция «следования за», конечно, не представляет труда для «автоматического арифмометра». Еще легче выполнить ему вычисление функции, тождественно-равной нулю — вместо любого данного числа написать нуль. Так же легко осуществит автомат вычисление проектирующей функции, поскольку это есть не что иное, как выбор из данной группы чисел такого-то по порядковому номеру числа. Эту операцию можно реализовать на машине, например, так: в машинную память вводятся по одному числу из заданной группы в n чисел, причем при каждом введении числа предыдущее стирается из памяти; одновременно с вводом каждого такого числа некоторое (другое) число, хранящееся в определенной ячейке запоминающего устройства, увеличивается на единицу — как говорят в этом случае, работает счетчик числа операций. Когда разность между числом, накопившимся на счетчике, и данным числом i (нижним индексом проектирующей функции Iin) станет равной нулю, сработает условный оператор, и число, находящееся в этот момент в памяти, пойдет на выход.
Нет необходимости подробно доказывать, что машине доступна реализация оператора подстановки — ведь подстановка есть последовательное вычисление функций, то есть вычисление некоторой функции при значениях аргументов, которые найдены ранее как значения других функций. Если машина умеет вычислять внутренние и внешнюю функции, фигурирующие в подстановке, итоговое вычисление гарантированно.
Вычисление по схеме рекурсии тоже легко осуществляется на ЭВМ. Напомним (ср. с. 137—138), что вычисление значения некоторой функции / (для простоты объяснения ограничимся одноместной функцией) при некотором значении аргумента ( по рекурсии производится по схеме
f(0)= r
f(m') = h(m, f(m)).
где двуместная функция h уже «освоена» — программисты и ЭВМ умеют ее вычислять. Принцип пользования этой схемой заключается в следующем. Машине задается число r, входящее в первую строчку схемы, способ вычисления функции А, в память машины вводится число i и счетчик числа операций ставится в исходное положение (нулевое). Далее организуется следующий процесс: автомат вычисляет значение функции h при значениях ее аргументов 0 и r и вводит в счетчик единицу. Пусть h(0, r) = l. Далее машина сравнивает показание счетчика (число 1) с числом i(проверяя, равна ли нулю их разность) и, если они различны, вычисляет значение функции h при значениях аргументов 1 и l, то есть отыскивает h (1, l), после чего снова добавляет в счетчик единицу, и процедура повторяется. Когда показание счетчика станет равным i, процесс обрывается, и на выход идет значение f(i). Из описания процесса видно, что он является однообразным, «механическим» и легко поддающимся автоматизации.
Еще проще машинизировать мю-операцию, которая как бы специально создана для ЭВМ, хотя была введена в математику лет за двадцать до появления электронных автоматов. Ее смысл заключается в отыскании первого натурального числа х, удовлетворяющего условию вида g(х) = О, где g — общерекурсивная функция[3]. Если машина умеет вычислять значения g при любых значениях аргумента, реализация мю-оператора сводится к тому, чтобы автомат перебирал подряд натуральные числа (каждый раз увеличивая на единицу предыдущее число, то есть пользуясь функцией «следования за»), вычислял для каждого из них значение g и, как только это значение оказывалось равным нулю, отправлял соответствующее натуральное число на выход в качестве результата.
Из всего сказанного вытекает, что любой вычислительный процесс, потенциально осуществимый с помощью аппарата рекурсивных функций, потенциально осуществим также и на ЭВМ. Уточним, в каком смысле нужно поймать слово «потенциально» в применении к вычислительной машине.
Для рекурсивного аппарата этот термин, как мы выяснили, можно понимать так: «при условии, что имеется достаточно времени, чернил (или типографской краски) и бумаги для записи промежуточных данных». ЭВМ бумага для записи данных не нужна — она заносит их в магнитное или другое «физическое» запоминающее устройство, а время ей нужно так же, как и человеку, вооруженному авторучкой, несмотря на то, что ЭВМ производит вычислительные действия гораздо быстрее. Поэтому потенциальная осуществимость какого-то вычислительного процесса на ЭВМ должна пониматься как осуществимость при условии, что не будет наложено никаких ограничений на время работы машины и что машина имеет неограниченную память — память, которую в случае надобности можно всегда расширить путем добавления, например, нового магнитного барабана.
Будем называть вычислимость такого рода ЭВМ-вычислимостью. Как мы убедились, ЭВМ-вычислимость включает в себя рекурсивную вычислимость. Конечно, аргументы, приводившиеся в пользу этого утверждения, носили описательный характер. Однако его можно превратить в серию аналогичных утверждений, в каждом из которых будет фигурировать не ЭВМ «вообще», а ЭВМ некоторого данного типа (или класс ЭВМ, программируемых с помощью конкретного алгоритмического языка, скажем, языка АЛГОЛ-68).
Любое из утверждений такого рода может быть доказано вполне строго. Возникает вопрос: является ли ЭВМ-вычислимость более мощной, чем рекурсивная вычислимость, то есть может ли вычислительная машина сделать что-нибудь такое, чего нельзя сделать с помощью аппарата рекурсивных функций? Если строго рассмотреть этот вопрос, окажется, что он получает отрицательный ответ. ЭВМ-вычислимость эквивалентна рекурсивной вычислимости, а значит, эквивалентна также алгорифмической вычислимости (по Маркову) и вычислимости по Тьюрингу.
