И пусть условием соединения отношений r1(S1) и r2(S2) будет: P = (b1 = b2), как и в предыдущих примерах.
Тогда результатом операции полного внешнего соединения отношений r1(S1) и r2(S2) по условию P = (b1 = b2) будет следующая таблица:
r1(S1) ↔× P r2(S2):
Итак, мы видим, что операция полного внешнего соединения наглядно оправдала свое определение как объединения результатов операций левого и правого внешних соединений. Результирующее отношение операции внутреннего соединения дополнено одновременно несоединимыми кортежами как левого (первого, r1(S1)), так и правого (второго, r2(S2)) исходного отношения-операнда.
5. Производные операции
Итак, мы рассмотрели различные варианты операций соединения, а именно операции внутреннего соединения, левого, правого и полного внешнего соединения, которые являются производными восьми исходных операций реляционной алгебры: унарных операций выборки, проекции, переименования и бинарных операций объединения, пересечения, разности, декартова произведения и естественного соединения. Но и среди этих исходных операций есть свои примеры производных операций.
1. Например, операция пересечения двух отношений является производной от операции разности этих же двух отношений. Покажем это.
Операцию пересечения можно выразить следующей формулой:
r1(S) ∩ r2(S) = r1 \ r1 \ r2
или, что дает тот же результат:
r1(S) ∩ r2(S) = r2 \ r2 \ r1;
2. Еще одним примером, производной базовой операции от восьми исходных операций является операция естественного соединения. В самом общем виде эта операция является производной от бинарной операции декартового произведения и унарных операций выборки, проекции и переименования атрибутов. Однако, в свою очередь, операция внутреннего соединения является производной операцией от той же операции декартового произведения отношений. Поэтому, чтобы показать, что операция естественного соединения – производная операция, рассмотрим следующий пример.
Сравним приведенные ранее примеры для операций естественного и внутреннего соединений.
Пусть нам даны два отношения r1(S1) и r2(S2) которые будут выступать в качестве операндов. Они равны:
r1(S1):
r2(S2):
Как мы уже получали ранее, результатом операции естественного соединения этих отношений будет являться таблица следующего вида:
r3(S3) ≔ r1(S1) × r2(S2):
А результатом внутреннего соединения этих же отношений r1(S1) и r2(S2) по условию P = (b1 = b2) будет следующая таблица:
r4(S4) ≔ r1(S1) × P r2(S2):
Сравним эти два результата, получившиеся новые отношения r3(S3) и r4(S4).
Ясно, что операция естественного соединения выражается через операцию внутреннего соединения, но, что главное, с условием соединения специального вида.
Запишем математическую формулу, описывающую действие операции естественного соединения как производную операции внутреннего соединения.
r1(S1) × r2(S2) = { ρ <ϕ1> r1 × E ρ< ϕ2>r2}[S1 ∪ S2],
где E — условие соединимости кортежей;
E= ∀a ∈S1 ∩ S2 [IsNull (b1) & IsNull (2) ∪b1 = b2];
b1 = ϕ1 (name(a)), b2 = ϕ2 (name(a));
Здесь одна из функций переименования ϕ1 является тождественной, а другая функция переименования (а именно – ϕ2) переименовывает атрибуты, на которых наши схемы пересекаются.
Условие соединимости E для кортежей записывается в общем виде с учетом возможных появлений Null-значений, ведь операция внутреннего соединения (как уже было сказано выше) является производной операцией от операции декартового произведения двух отношений и унарной операции выборки.
6. Выражения реляционной алгебры
Покажем, как можно использовать рассмотренные ранее выражения и операции реляционной алгебры в практической эксплуатации различных баз данных.
Пусть для примера в нашем распоряжении имеется фрагмент какой-то коммерческой базы данных:
Поставщики (Код поставщика, Имя поставщика, Город поставщика);
Инструменты (Код инструмента, Имя инструмента, …);
Поставки (Код поставщика, Код детали);
Подчеркнутые имена атрибутов[1] являются ключевыми (т. е. идентификационными) атрибутами, причем каждый в своем отношении.
Предположим, что к нам, как разработчикам этой базы данных и хранителям информации по этому вопросу, поступил заказ получить наименования поставщиков (Имя Поставщика) и место их расположения (Город Поставщика) в случае, когда эти поставщики не поставляют каких-либо инструментов с родовым именем «Плоскогубцы».
Чтобы в нашей, возможно, весьма обширной, базе данных определить всех поставщиков, отвечающих этому требованию, запишем несколько выражений реляционной алгебры.
1. образуем естественное соединение отношений «Поставщики» и «Поставки» для того, чтобы сопоставить с каждым поставщиком коды поставляемых им деталей. Новое отношение – результат применения операции естественного соединения – для удобства дальнейшего применения обозначим через r1.
Поставщики × Поставки ≔ r1 (Код поставщика, Имя поставщика, Город поставщика, Код поставщика, Код инструмента);
В скобках мы перечислили все атрибуты отношений, участвующих в этой операции естественного соединения. Мы видим, что атрибут «Код поставщика» дублируется, но в итоговой записи операции каждое имя атрибута должно присутствовать только один раз, т. е.:
Поставщики × Поставки ≔ r1 (Код поставщика, Имя поставщика, Город поставщика, Код инструмента);
2. снова образуем естественное соединение, только на этот раз отношения, получившегося в пункте один и отношения Инструменты. Делаем это для того, чтобы с каждым кодом инструмента, получившемуся в предыдущем пункте, – сопоставить имя этого инструмента.
