Каждое из указанных слагаемых должно иметь положительный численный коэффициент.

Вы, возможно, недоумеваете, почему в списке нет случаев типа

куб + квадрат = сторона.

Причина в том, что в этих случаях можно разделить обе части уравнения на неизвестное, в результате чего уравнение сведется к квадратному.

Омар изобрел свои решения не полностью самостоятельно, а основываясь на предшествующих греческих методах решения различных типов кубических уравнений с использованием конических сечений. Он систематически развил эти идеи и решил такими методами все четырнадцать типов кубических уравнений. Предшествующие математики, как он заметил, нашли решения в ряде случаев, но все их методы были очень специальными и каждый случай требовал отдельного построения; до Омара никто не изучал весь охват возможных случаев, не говоря уж о том, чтобы дать их решения. «Я же, напротив, никогда не ослабевал в своем желании сделать известными, притом со всей точностью, все возможные случаи и в каждом из них провести различие между возможным и невозможным». Под «невозможным» он понимал отсутствие положительного решения. Чтобы получить представление о его работе, приведем его решение случая «куб, некоторые стороны и некоторые числа равны некоторым квадратам», что мы бы записали как

x3 + bx + c = ax2.

(Поскольку нас не заботит положительность или отрицательность, мы бы, скорее всего, перенесли член из правой части в левую с изменением знака; получив таким образом уравнение x3 ? ax2 + bx + c = 0.)

Омар снабжает своих читателей инструкциями, состоящими в следующей последовательности шагов. (1) Проводим три отрезка с длинами c/b, vb и a так, чтобы образовался прямой угол. (2) Проводим полуокружность, диаметр которой — горизонтальный отрезок. Продолжаем вертикальные прямые до пересечения с ней. Если жирный вертикальный отрезок имеет длину d, добиваемся, чтобы отрезок жирной горизонтальной прямой имел длину cd/vb. (3) Проводим гиперболу (сплошная линия), асимптоты которой (те специальные прямые, к которым приближается гипербола) — серые прямые, проходящие через только что построенную точку. (4) Находим, где гипербола пересекает полуокружность. Тогда длины двух жирных отрезков, обозначенные как x, дают два (положительных) решения кубического уравнения.

Истина и красота. Всемирная история симметрии. - i_015.png

Данное Омаром Хайямом решение кубического уравнения.

Подробности, как всегда, не так важны, как общий стиль. Выполняем ряд эвклидовых построений циркулем и линейкой, потом прибегаем к помощи гиперболы, потом еще немного эвклидовых построений — и готово.

Омар дает аналогичные конструкции для решения каждого из своих четырнадцати случаев и доказывает, что решения верны. В его анализе есть несколько дыр: при некоторых значениях коэффициентов a, b и c требуемые в его построении точки не существуют. В приведенном выше построении, например, гипербола может вообще не пересекать полуокружность. Но если отбросить эти придирки, он выполнил впечатляющую и очень систематическую работу.

Некоторые из образов в поэзии Омара являются математическими и, как представляется, содержат аллюзии на его собственные работы, в тоне возражений самому себе, который проходит через все его творчество:

Умом ощупал я все мирозданья звенья,
Постиг высокие людской души паренья,
И, несмотря на то, уверенно скажу:
Нет состояния блаженней опьяненья.

Одно особенно впечатляющее четверостишие звучит так:

Кто мы? Куклы на нитках, а кукольщик наш — небосвод.
Он в большом балагане своем представленье ведет.
Он сейчас на ковре бытия нас попрыгать заставит,
А потом в свой сундук одного за другим уберет.

Это напоминает знаменитую платоновскую аллегорию теней на стене пещеры и подходит равным образом для описания и символьных вычислений в алгебре, и человеческой натуры. Омар был талантливым летописцем и того и другого.

Глава 4

Ученый игрок

«Клянусь святым Евангелием Господа нашего и как истинный человек чести не только никогда не публиковать ваши открытия, если вы мне доверите их, но да будет моя вера истинного христианина вам порукой, что я зашифрую их так, чтобы после моей смерти никто не смог их понять». Этот торжественный обет был, как говорят, дан в 1539 году.

Италия эпохи Возрождения была колыбелью нового, и математика не составляла исключения. В иконоборческом духе того времени математики Ренессанса задались целью преодолеть ограничения древней математики. Один из них разрешил загадку кубического уравнения и теперь обвинял другого в воровстве своего секрета.

Гневающегося математика звали Никколо Фонтана по прозвищу Тарталья — Заика. В воровстве интеллектуальной собственности обвинялся математик, врач, неисправимый плут и закоренелый азартный игрок по имени Джироламо Кардано, также известный как Жером Кардан. Около 1520 года Джироламо, как истинный блудный сын, успешно растратил наследство, оставленное ему отцом. Разорившись, он обратился к азартным играм как к источнику дохода, найдя эффективное примененное своих математических способностей для оценки шансов на выигрыш. Он водился с сомнительной компанией; как-то раз, заподозрив другого игрока в нечестной игре, он полоснул его ножом по лицу.

То были суровые времена, и Джироламо был суровым человеком. А кроме того — на редкость оригинальным мыслителем и автором одного из наиболее знаменитых и влиятельных текстов по алгебре во всей истории.

О Джироламо нам известно много, потому что в 1575 году он сам рассказал нам о себе в «Книге моей жизни». Начинается она так:

Эту Книгу Моей Жизни я намереваюсь написать, следуя примеру Антонина Философа[12], прославленного как мудрейший и достойнейший из людей, хорошо понимая, что ни одно деяние смертных не совершенно, а еще менее того — свободно от злословия; однако сознавая при этом и то, что из всего, что человеку дано достичь, ничто другое не доставляет больше радости и не ценится сильнее, чем познание истины.

Ни единого слова, спешу заверить, не было добавлено в угоду тщеславию, и ни единого для пустого приукрашивания; вместо того, насколько возможно, здесь собрано только пережитое, события, о которых мои ученики… были осведомлены или в коих они принимали участие. Эти краткие эпизоды моей истории в свою очередь записаны были мною в повествовательной форме, дабы стать частью этой книги.

Как и многие математики того времени, Джироламо занимался астрологией, так что он отмечает астрологические обстоятельства, сопутствовавшие его рождению:

Хотя, как я слышал, напрасно пытались применить различные абортивные средства, я нормально родился в 24-й день сентября года 1500, когда первый час ночи истек уже более чем наполовину, но менее чем на две трети… Марс угрожал обоим главным светилам из-за неблагоприятного их расположения и потому, что он был в четвертном аспекте с Луною…

Я легко мог родиться уродом, если бы не тот факт, что положение предыдущего соединения приходилось на 29° в Деве, где господствует Меркурий. И так как его положение не совпадало ни с местом Луны, ни с местом асцендента и он не находился в аспекте с предпоследним делением Девы, я непременно должен был бы родиться уродом, и даже легко могло случиться, что я выйду из утробы разорванным, чего едва и не произошло.

Так был я рожден, или, скорее, исторгнут мощными силами из чрева матери; я был почти мертв. Волосы мои были темны и завиты. Меня вернули к жизни ванной из теплого вина, которая могла бы оказаться гибельной для любого другого ребенка. Моя мать провела в тяготах три полных дня, и однако же я выжил[13].

вернуться

12

Марка Аврелия, римского императора с 161 по 180 г. (Примеч. перев.)

вернуться

13

Не без некоторых потерь:

«…и Солнце, и обе зловещие планеты — Венера и Меркурий — находились в человеческих знаках, вследствие чего у меня и не обнаружилось отклонений от человеческого образа; а так как в асценденте был Юпитер и во всем гороскопе господствовала Венера, у меня обнаружились неправильности только в половых органах: случилось так, что в возрасте от 21 до 31 года я оказался не способен к совокуплению с женщинами и часто горько оплакивал свою участь, завидуя судьбе других людей». (Примеч. перев.)