В 1818 году французский математик Габриель Лямэ, размышляя над формулой для окружности и эллипса, задался таким вопросом: что будет, если «подкручивать» не значения a и b, а показатели степени?

Эффект оказался восхитительным. Рассмотрим, например, уравнение хⁿ + уⁿ = 1. При n = 2, как мы видели, оно порождает единичную окружность. А вот кривые, получаемые при n = 2, n = 4 и n = 8:

Когда n равно 4, кривая выглядит как окружность, стиснутая при запихивании в квадратный ящик. Ее стороны уплощаются, но остаются четыре скругленных угла. Как будто окружность пытается стать квадратом. Когда n равно 8, получающаяся кривая еще более походит на квадрат.

На самом деле, чем большее мы выберем число n, тем ближе полученная кривая будет к квадрату. В пределе, когда x^? + у^? = 1, уравнение описывает квадрат. (Если что-то и заслуживает названия квадратуры круга, то это как раз тот самый случай.)

В центре Стокгольма расположен Сергелс Торг — многоуровневый торговый центр и транспортный узел. Это широкое прямоугольное пространство, устроенное так, что нижний уровень предназначен для пешеходов, а машины ездят сверху по кругу. Именно там политические активисты любят устраивать различные мероприятия, и именно туда стекаются спортивные болельщики, когда шведская сборная выигрывает какое-то значимое международное соревнование. Визитная карточка этого места — расположенная в центральной части здоровенная скульптура, стоящая там со времен 1960-х годов, предмет ненависти местных жителей — 37-метровый обелиск из стекла и стали, подсвечиваемый по ночам.

В конце 1950-х годов, когда планировщики города проектировали Сергелс Торг, они столкнулись с некой геометрической проблемой. Какова, спрашивали они себя, наилучшая форма для кругового движения в прямоугольном пространстве? Им не хотелось использовать точную окружность, потому что в таком случае прямоугольное пространство было бы задействовано не полностью. Но градостроители также не желали использовать овал и эллипс — несмотря на то, что они лучше заполняют пространство — и в том и в другом случае «заостренные» края препятствовали бы плавному движению транспорта. В поисках ответа архитекторы решили проконсультироваться у зарубежного специалиста и обратились к Питу Хейну (1905–1996). Этот человек некогда считался третьей по известности фигурой в Дании (после физика Нильса Бора и писательницы Карен Бликсен). Пит Хейн изобрел «груки» — короткие афористические стихотворения, которые он публиковал во время Второй мировой войны, считая их одной из форм пассивного сопротивления оккупации Дании нацистами. Кроме того, он был художником и математиком, а потому обладал как раз нужным художественным чутьем, широтой мышления и научным взглядом на мир — сочетание, которое могло бы помочь взглянуть под другим углом на проблему планировки стокгольмского центра.

И Пит Хейн решил с помощью несложных математических вычислений найти форму, которая будет представлять собой нечто среднее между эллипсом и прямоугольником. Для этого он использовал описанный выше метод, только применил его не к окружности, а к эллипсу. Говоря алгебраически, он стал по-всякому изменять значения n в таком уравнении:

Как мы только что видели, если взять окружность и начать увеличивать n от 2 до бесконечности, окружность будет переходить в квадрат. Соответственно, если взять эллипс и начать увеличивать n от 2, эллипс все больше и больше будет приближаться к прямоугольнику. Представим себе эллипс, описываемый приведенным выше уравнением, в котором а = 3 и b = 2. Пит Хейн рассудил, что значение n, при котором кривая представляет собой наилучший с эстетической точки зрения компромисс между эллиптической и прямоугольной формами, — 2,5. Соответствующая кривая показана на рисунке. Он назвал эту новую форму суперэллипсом.

Помимо просто изящного математического фрагмента, суперэллипс Пита Хейна затрагивает и более глубокую человеческую тему — повсеместно присутствующий в нашем окружении конфликт между окружностями и прямыми линиями. Он писал по этому поводу:

Круговое движение, выполненное в Стокгольме в форме суперэллипса, повторяли и другие архитекторы; самый известный пример — проект стадиона «Ацтека» в Мехико, где проходили финалы чемпионата мира по футболу в 1970 и 1986 годах.

Разработанная Питом Хейном кривая вошла в моду, завоевав себе место в скандинавском дизайне 1970-х годов. Там до сих пор можно купить суперэллиптические тарелки, подносы и дверные ручки, производимые компанией, принадлежащей сыну Пита Хейна.

Лукавый ум Пита Хейна не остановился на суперэллипсе. Работая над своим следующим проектом, он задался вопросом о том, каков мог бы быть трехмерный вариант этой формы. Результат — нечто промежуточное между сферой и ящиком, который он назвал «суперяйцом». Неожиданной чертой суперяйца оказалась способность удерживаться на одной из своих сторон, не опрокидываясь. В 1970-х годах Пит Хейн выпустил в продажу суперяйца, сделанные из нержавеющей стали, они предлагались покупателям как «скульптура, сувенир или амулет». Это довольно красивые и в то же время забавные предметы. Одно такое суперяйцо стоит у меня на каминной полке. Одно есть у Ури Геллера[38]. Его подарил ему Джон Леннон, объяснив, что сам получил это яйцо от инопланетян, посетивших его нью-йоркскую квартиру. «Храни его, — сказал Леннон Геллеру. — Для меня оно слишком странное. Если это мой билет на другую планету, то мне туда совсем не хочется».

Маки Кадзи издает японский журнал, специализирующийся на числовых головоломках. Кадзи считает себя кем-то вроде шоумена или эстрадного артиста, использующего в своем ремесле числа. «Я ощущаю себя скорее режиссером фильма или спектакля, чем математиком», — объясняет он. Я познакомился с Кадзи в его офисе в Токио. Он не вел себя эксцентрично, но и не держался чересчур официально, хотя именно эти два качества можно было бы ожидать от того, кто некогда был одержим числами, а потом превратился в успешного бизнесмена. Кадзи был одет в черную футболку, а поверх нее — в модный бежевый кардиган, на его носу сидели очки в стиле Джона Леннона. Ему 57 лет, у него короткая козлиная бородка и бакенбарды, и он часто и заразительно смеется. Кадзи с удовольствием поведал мне о том, что помимо числовых головоломок у него есть и другие хобби. Например, он собирает канцелярские резинки и из своего недавнего путешествия в Лондон привез про запас 25-граммовую упаковку фирменных резинок из книжного магазина «WH Smith» и еще одну 100-граммовую упаковку от независимого торговца канцелярскими товарами. Еще он на досуге развлекается тем, что фотографирует содержательные с арифметической точки зрения номерные знаки на автомобилях. В Японии номерные знаки состоят из двух пар чисел. Кадзи постоянно носит с собой небольшой фотоаппарат и старается не пропустить ни одного знака, на котором перемножение чисел из первой пары дает число, равное второй.