Последовательность Фибоначчи не только описывает формирование плодов и процесс безостановочного размножения кроликов, но и обладает разнообразными увлекательными математическими свойствами. Закономерность будет легче увидеть, если мы выпишем первые 20 чисел. Каждое число Фибоначчи традиционно записывается с использованием буквы F, снабженной нижним индексом, который обозначает положение данного числа в последовательности:

При более близком рассмотрении удается заметить, что наша последовательность воспроизводит саму себя многими и весьма неожиданными способами. Взглянем на числа F₃, F₆, F₉ — другими словами, на каждое третье F-число. Все они делятся на 2. А числа F₄, F₈, F₁₂ — то есть каждое четвертое F-число — делятся на 3. Каждое пятое F-число делится на 5, каждое шестое F-число делится на 8, и каждое седьмое — на 13. Эти делители в точности являются F-числами из самой последовательности.

Другой впечатляющий пример получается при вычислении 1/F₁₁, то есть ¹/₈₉. Это число равно сумме чисел

Таким образом, здесь снова высовывает голову последовательность Фибоначчи[51].

А вот другое интересное математическое свойство этого ряда. Возьмем любые три последовательных F-числа. Произведение первого на третье всегда на 1 отличается от квадрата второго числа.

Это свойство лежит в основе магического фокуса возрастом в несколько сотен лет. Фокус состоит в том, что квадрат, состоящий из 64 единичных квадратов, можно разрезать на четыре куска так, что, сложив их по-другому, мы получим прямоугольник из 65 единичных квадратов. Вот как это делается: нарисуем квадрат, составленный из 64 маленьких квадратиков. Сторона большого квадрата имеет длину 8. В последовательности Фибоначчи два F-числа, идущие перед 8, — это 5 и 3. Разделим большой квадрат на куски, используя длины 5 и 3. Куски можно сложить по-другому в прямоугольник со сторонами длиной 5 и 13, и площадь этого прямоугольника равна 65:

Разгадка фокуса состоит в том, что после изменения конфигурации куски не точно прилегают друг к другу. Хотя этого и не видно сразу невооруженным глазом, на самом деле имеется тонкий длинный зазор вдоль средней диагонали, и площадь этого зазора равна площади одного маленького квадратика.

В начале XVII столетия немецкий астроном Иоганн Кеплер писал, что «как 5 относится к 8, так же, примерно, 8 относится к 13, и как 8 относится к 13, так же, примерно, 13 относится к 21». Другими словами, он обратил внимание, что отношения последовательных F-чисел близки друг к другу. Столетие спустя шотландский математик Роберт Симсон усмотрел нечто еще более невероятное. Если взять отношения последовательных F-чисел и расположить их в последовательность

или (с точностью в три десятичных разряда)

то эти числа будут все ближе и ближе подходить к числу фи — золотому сечению.

Другими словами, приближением к золотому сечению служат отношения последовательных чисел Фибоначчи, причем точность приближения возрастает с каждым новым членом последовательности.

А теперь рассмотрим некую последовательность типа последовательности Фибоначчи, начинающуюся с двух случайных чисел, но продолжающуюся в соответствии с тем же правилом сложения двух последовательных членов. Начнем, скажем, с чисел 4 и 10; следующий член тогда равен 14, а идущий за ним — 24. Далее получаем:

Посмотрим на отношения соседних членов:

или

Заложенный в последовательность Фибоначчи рекуррентный алгоритм, согласно которому надо складывать два соседних члена в последовательности, чтобы получить следующий, оказывается настолько мощным, что с каких бы двух чисел мы ни начали, отношения последовательных членов всегда сходятся к числу фи. Я думаю, это совершенно потрясающий математический феномен.

Повсеместное присутствие чисел Фибоначчи в природе означает, что число фи тоже вездесуще. И это возвращает нас к дантисту-пенсионеру Эдди Левину. В начале своей профессиональной карьеры он провел немало времени, протезируя зубы, однако это не приносило ему полного удовлетворения, поскольку, как он ни старался, улыбка пациента все равно получалась какой-то кривоватой.

— Я трудился до кровавого пота, — говорил он. — Но как бы я ни старался, зубы все равно не выглядели настоящими.

Примерно тогда же Левин начал посещать занятия по математике и спиритуализму, где он и узнал о числе фи. Узнал Левин и о «Божественной пропорции» Пачоли — и немало этим воодушевился. Что, если число фи, которое согласно Пачоли выражало истинную красоту, также содержало в себе секрет божественных зубных протезов? Эта мысль осенила его в два часа ночи, и он помчался в свой кабинет.

— Остаток ночи я провел за измерением зубов, — рассказывает он мне.

Левин перелопатил множество фотографий и обнаружил, что в самой привлекательной улыбке центральный передний зуб — центральный резец — шире следующего за ним (бокового резца) на множитель, равный числу фи. Боковой резец был также шире соседнего с ним зуба (клыка), и тоже на множитель, равный фи. А клык был шире следующего за ним зуба (первый премоляр — малый коренной зуб), и также на множитель, равный фи[52]. Левин измерял не реальную ширину зубов, но видимый размер зуба на фотографии, сделанной анфас. Как бы то ни было, он полагал, что совершил историческое открытие: красота совершенной улыбки управляется числом фи!

— Я пришел в необычайное возбуждение, — вспоминает Левин.

На работе он рассказал о своих открытиях коллегам, но те отнеслись к этому как к чудачеству. Это не остановило его — он продолжал развивать свои идеи, и в 1978 году опубликовал статью с их подробным изложением в «Journal of Prosthetic Dentistry».