Уже говорилось, что Святой Августин и ряд богословов считали бесконечность исключительно божественной характеристикой, а попытки человеческого разума понять ее — ересью. Эта мысль терзала Кантора, который всегда был религиозен. Но парадокс — таким, как понимал его он, — освобождал его от этого груза.

Кантор разделил бесконечное на два уровня: нижний относится к трансфинитному и включает в себя множества натуральных, вещественных, ординальных чисел класса I, II, III,... и все понятия его теории, за исключением множества всех ординальных чисел. Последнее находилось на абсолютном уровне бесконечности, которое относилось к сфере божественного.

Кантор считал, что человеческий разум может постичь трансфинитное. Но возникающий парадокс указывал на то, что абсолютный, божественный, уровень — выше его способностей. Он появляется не из-за ошибки в теории, а из-за попытки человека удержать понятие, которое превосходит его умственные возможности. Так, оставляя уровень бесконечности Богу, Кантор — в первую очередь человек, а потом уже математик — смог успокоить свою религиозную совесть. И если говорить о логических нестыковках в теории Кантора, многие математики, в том числе и его сторонники, не соглашались с подобной интерпретацией парадоксов.

Было бы наивно предположить, что «бесконечность плюс бесконечность» даст просто «бесконечность» и к ней нельзя ничего добавить. Однако во второй половине 1890-х годов Георг Кантор опубликовал статью, в которой ввел обозначение для бесконечных кардинальных чисел — букву «алеф» еврейского алфавита. С ее помощью он создал «арифметику бесконечности», которая показала, что вопрос «сложения бесконечности и бесконечности» требует более пристального рассмотрения.

В первой половине XX века немецкий физик Макс Планк (1858-1947) писал: 

«Новая научная истина торжествует не потому, что ее противники признают свою неправоту Просто ее оппоненты со временем вымирают, а подрастающее поколение знакомо с нею с самого начала». 

Планк имел в виду квантовую механику — теорию, которая произвела революцию в физике XX века, но это замечание прекрасно подходит и для теории Кантора. Действительно, многие математики поколения, родившегося в последние десятилетия XIX века, далекие от предрассудков своих старших коллег, видели в теории бесконечности интересный и стимулирующий потенциал. Одним из самых известных сторонников Кантора был Давид Гильберт, блестящий немецкий математик, родившийся в 1862 году. Когда в начале XX века в теории бесконечности были обнаружены парадоксы и многие из тех, кто сначала верил в нее, начали сомневаться, Гильберт стал главным защитником идей Кантора.

В 1900 году Гильберт был приглашен на конференцию, посвященную открытию Второго международного конгресса математиков в Париже. Это было свидетельством признания его академических заслуг.

На знаменитой конференции Гильберт представил 23 задачи, которые не могли быть решены на тот момент и которые, как он полагал, задали бы направление развитию математики в XX веке. Первым пунктом списка значилась задача, в которой требовалось подтвердить или опровергнуть континуум- гипотезу (напомним, она была сформулирована Кантором в 1878 году, и согласно ей между мощностью множеств натуральных и вещественных чисел отсутствует промежуточная).

Благодаря новому поколению математиков, к 1890 году теория множеств и теория бесконечности не только оказались приняты, но и стали основой многих новых областей математики, появившихся в те годы. Прежде всего, понятия теории множеств, в частности различия между счетными и несчетными множествами, являются фундаментальными в теории меры — обобщении исчисления, созданном в последние годы XIX века французскими математиками Эмилем Борелем (1871-1956) и Анри Лебегом (1875-1941). Также они имеют основополагающее значение в топологии — еще одной обобщенной теории исчисления, которая зародилась в тот же период в работах другого французского математика Анри Пуанкаре (1854-1912) (хотя впоследствии из-за большого количества вскрытых парадоксов Пуанкаре стал одним из противников теории множеств).

В это время обрела форму идея того, что теория множеств может быть основой всей математики. Но что конкретно это значило? На протяжении веков образцом математической мысли была классическая древнегреческая геометрия. Более того, считалось, что самый четкий способ объяснения математических понятий — это представление их посредством геометрии. Число, в частности иррациональное число, можно было представить как отрезок, а числовые операции — как построения.

Георг Кантор, около 1894 года.

Анри Лебег, французский математик.

Эмиль Борель, 1929 год. Вместе с Лебегом он начал обобщать понятия теории множеств, чтобы создать на их основе теорию меры.

В 1890-е годы Анри Пуанкаре утверждал, что понятия теории множеств необходимы и для топологии.

Декарт в сочинении «Правила для руководства ума», написанном в 1620-е годы, объясняет, что умножение двух чисел, то есть двух отрезков, в сущности состоит в том, чтобы построить прямоугольник, сторонами которого и будут эти отрезки. Отметим: Декарт не говорит, как мы сейчас, что произведение сторон позволит нам получить площадь прямоугольника. Он утверждает, что прямоугольник является произведением двух чисел; понятия и операции воспринимались как геометрические объекты и построения.

Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором.

Давид Гильберт (1862-1943), немецкий математик

Это господство геометрии в XIX веке стало постепенно сходить на нет — процесс был назван арифметизацией исчисления. В результате математические понятия, особенно связанные с исчислением, перестали пониматься через призму геометрии и отныне основывались исключительно на числах. Однако если числа — это не отрезки, то что тогда? Некоторые математики, среди которых был и Рихард Дедекинд, увидели ответ на этот вопрос в теории множеств. Если определения чисел и операции с ними больше не отталкивались от геометрических понятий, то их место могли бы занять понятия теории множеств.

В 1872 году Дедекинд уже использовал теорию множеств для определения вещественных чисел, но в нем предполагалось существование рациональных чисел, а они, в свою очередь, определяются на основе натуральных.

Как мы определяем натуральные числа, которые находятся в начале этой цепи понятий (рисунок 1)?

Дедекинд ответил на этот вопрос в статье Was sind und was sollen die Zahlen {«Что такое числа и для чего они служат»), опубликованной в 1887 году как самостоятельная монография. В ней Дедекинд использует определение множества, предложенное Кантором в 1883 году (Дедекинд называл множества «системой элементов»), а также объединения множеств. По мнению ученого, натуральные числа — всего лишь кардинальные числа конечных множеств. Он называет число 0 кардинальным числом пустого множества (такого, в котором нет членов), 1 — кардинальным числом любого множества с одним членом и так далее.

РИСУНОК 1: Определения числовых множеств. После определения натуральных чисел остальные множества могут быть последовательно определены на их основе.