Гильберт, большой сторонник теории множеств, был крайне обеспокоен выявлением парадокса и в 1897 году начал интенсивную переписку с Кантором. В ходе этого обсуждения Кантор вновь выразил свою убежденность в том, что всех парадоксов в теории множеств можно было избежать, проведя различие между трансфинитным и абсолютным, хотя в письмах он не использовал эти термины, а говорил о «доступном» и «недоступном» (а иногда о «существенных» и «несущественных» множествах).
По Кантору, доступные множества — это такие множества, которые мы можем назвать и свойства которых мы можем изучить; недоступные же находятся вне нашего понимания, поэтому если мы будем пытаться анализировать их, то рискуем столкнуться с противоречиями. Проблема была не во множествах самих по себе, а в конечном и ограниченном рассудке, неспособном понять определенный тип множеств. Гильберта не убеждала такая постановка вопроса, он полагал, что если мы в состоянии постичь определение множества, то должны быть в состоянии и познать все его свойства. Мысль о том, что существуют непознаваемые математические объекты, была противна философии математики Гильберта, которую можно охарактеризовать его знаменитой максимой «Мы должны знать. Мы будем знать», произнесенной на конференции в честь открытия Второго международного конгресса математиков в 1900 году. Она выражает его твердую уверенность в том, что неразрешимых математических задач не существует. Интереснейший спор в письмах между Гильбертом и Кантором трагически прервался в 1899 году, так и не завершившись решением, которое устроило бы обе стороны.
Бурали-Форти родился в Ареццо, в Италии, 13 августа 1861 года. Он изучал математику в Пизанском университете, где в 1884 году защитил диплом.
Докторскую степень ему получить не удалось, поскольку диссертационный комитет отверг его предложение рассматривать геометрию с алгебраической точки зрения (сегодня общепринятой), а ученый не стал настаивать на своем. До 1887 года он был учителем математики в пизанской школе, а потом переехал в Турин, где преподавал в военной академии до конца своей карьеры. Отсутствие докторской степени не позволило ему работать в высших школах, однако в Туринском университете он прочитал несколько лекций, получивших высокую оценку. Там же он установил контакты, хотя и неформальные, со многими учеными. Бурали-Форти написал более 200 статей по геометрии, логике и о преподавании математики. Он умер в Турине 21 января 1831 года.
В конце 1899 года Кантор готовил третью часть своей статьи «Обоснование учения о трансфинитных множествах», которую хотел посвятить главным образом изложению своего решения парадоксов теории множеств, но 16 декабря 1899 года его работу прервала трагическая гибель младшего сына Рудольфа. Ему было всего 13 лет.
Эта ужасная потеря, от которой Кантор так никогда и не оправился, повлекла за собой серьезное душевное расстройство. А может, болезнь скрыто протекала и до этого, а трагедия сделала ее явной. В последующие годы периоды просветления сменялись депрессией. Несколько раз ученый оказывался в психиатрической лечебнице в Галле. В годы болезни Кантор вернулся к теме авторства Шекспира и Бэкона, которую он на самом деле никогда не оставлял. Об этом свидетельствует фраза в письме Гильберту 15 ноября 1899 года: «Этой зимой я дам пять уроков в Берлине и пять в Лейпциге на ту же тему [вопрос о Шекспире и Бэконе], в которой я разобрался до конца; господа филологи будут поражены».
В подтверждение того, что после 1900 года его интерес к этому вопросу стал настоящим «помешательством», можно привести случай, произошедший в 1911 году. В сентябре того года Кантор как почетный академик был приглашен в Шотландию на празднование 500-летия Сент-Эндрюсского университета. После обнаружения в 1902 году так называемого парадокса Рассела вопрос о логических противоречиях в теории множеств в математике вышел на первый план. Поэтому, когда Кантор взошел на трибуну университета, чтобы прочитать доклад, все ожидали услышать рассуждения о парадоксах бесконечности. Кантор же стал говорить о Бэконе как авторе шекспировских пьес. Тем не менее в следующем году Сент- Эндрюсский университет присудил Кантору степень почетного доктора, но ученый в тот момент был уже серьезно болен и не смог присутствовать на церемонии.
Сущность математики состоит в ее свободе.
Георг Кантор, 1883 год
Несмотря ни на что в первые годы своей болезни Кантор не оставлял занятия математикой. Он продолжал преподавать в Галле, хотя периодически подолгу отсутствовал из-за болезни (например, весь 1909 год), он выступил с лекциями о парадоксах теории множеств на собрании Немецкого математического общества в сентябре 1903 года, а также в Гейдельберге (Германия) в августе 1904 года. Однако он так и не закончил третью часть своих «Обоснований» и не опубликовал больше ни одной статьи по математике.
В 1913 году Кантор вышел на пенсию. В последние годы жизни из-за Первой мировой войны он столкнулся с нехваткой питания. Из-за войны же широкое празднование, которое его немецкие коллеги планировали устроить по случаю 70-летая ученого, вследствие экономического кризиса свелось к небольшой вечеринке в узком дружеском кругу. В июне 1917 года Кантор в последний раз оказался в психиатрической клинике в Галле, где и скончался от сердечного приступа 6 января 1918 года.
В Галльском университете установлен памятник в виде большого бронзового куба. Каждая из четырех его граней посвящена профессору, работавшему в этом учебном заведении.
Одна из них, разумеется, — дань уважения Кантору. На ней изображен рельефный портрет ученого, а справа высечена надпись: «Георг Кантор, математик, создатель теории множеств, 1845-1918». Под портретом стоит равенство с = 2X0 , где с — первая буква латинского слова «континуум» (continuo), обозначающая мощность вещественных чисел. Справа от равенства — схема доказательства счетности всех рациональных чисел. Наконец, под равенством с = 2X0 приведена фраза из статьи Кантора 1883 года: «Сущность математики состоит в ее свободе».
Но нам не нужен монумент, чтобы помнить о Канторе, потому что он ясно говорит с нами со страниц своих писем и статей.
Пока существует математика, он будет жить в своей теории бесконечности.
Что же произошло с парадоксами теории множеств? Как они были решены и были ли? В 1880-е годы Дедекинд, а позже и Кантор предложили определять натуральные числа и операции между ними на основе понятий теории множеств. Это предложение было равнозначно тому, чтобы обосновать все области математики теорией множеств. Как возможно, что исчисление остается основанным на понятиях множеств, если натуральные числа определяются исходя из этих же понятий? Это объясняется тем, что на основе натуральных чисел можно определить целые, а целые, в свою очередь, определяют рациональные, рациональные — вещественные (говоря языком теории множеств), а вещественные являются основой исчисления.
Немецкий логик и математик Готлоб Фреге (1848-1925) задумался над той же задачей: привести всю математику к понятиям теории множеств. Таким образом он соглашался с Кантором и Дедекиндом, но стиль его математической аргументации был другим. На протяжении веков образцом математических рассуждений было сочинение Евклида «Начала» — фундаментальный труд по древнегреческой геометрии, созданный в III веке до н.э. Логическая структура «Начал» опирается на аксиомы — утверждения, которые считаются верными без доказательства, а на основе аксиом посредством логических рассуждений выводятся все остальные истины, в данном случае геометрические свойства.
