Теоремы существования в И. т. доказываются преимущественно теми же неконструктивными средствами, что и в других разделах математики: при помощи теорем о неподвижной точке, о выделении из бесконечной последовательности сходящейся подпоследовательности и т. п., или же, в весьма узких случаях, путём интуитивного указания вида решения и последующего нахождения решения в этом виде.

  Фактическое решение некоторых классов антагонистических игр сводится к решению дифференциальных и интегральных уравнений, а матричных игр — к решению стандартной задачи линейного программирования. Разрабатываются приближённые и численные методы решения игр. Для многих игр оптимальными оказываются так называемые смешанные стратегии, тоесть стратегии, выбираемые случайно (например, по жребию).

  И. т., созданная для математического решения задач экономического и социального происхождения, не может в целом сводиться к классическим математическим теориям, созданным для решения физических и технических задач. Однако в различных конкретных вопросах И. т. широко используются весьма разнообразные классические математические методы. Кроме этого, И. т. связана с рядом математических дисциплин внутренним образом. В И. т. систематически и по существу употребляются понятия теории вероятностей. На языке И. т. можно сформулировать большинство задач математической статистики. Необходимость при анализе игры количественного учёта неопределённости предопределяет важность и тем самым связь И. т. с теорией информации и через её посредство — с кибернетикой. Кроме того, И. т., будучи теорией принятия решений, может рассматриваться как существенная составная часть математического аппарата операций исследования.

  И. т. применяется в экономике, технике, военном деле и даже в антропологии. Основные трудности практического применения И. т. связаны с экономической и социальной природой моделируемых ею явлений и недостаточным умением составлять такие модели на количественном уровне.

  К 70-м гг. 20 в. число публикаций по научным вопросам И. т. достигло многих сотен (в том числе несколько десятков монографий). Курсы по И. т. читаются во многих высших учебных заведениях для студентов математических и экономических специальностей (в СССР — с 1956).

  Международные конференции по И. т. проходили в Принстоне (1961), Иерусалиме (1965), Вене (1967) и Беркли (1970). Всесоюзные конференции по И. т. состоялись в Ереване (1968) и Вильнюсе (1971).

  Лит.: Нейман Дж. Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; Льюс Р., Райфа Х., Игры и решения, пер. с англ., М., 1961; Карлин С., Математические методы в теории игр, программировании и экономике, пер. с англ., М., 1964; Воробьев Н. Н., Современное состояние теории игр, «Успехи математических наук», 1970, т. 25, № 2(152), с. 80—140; Оуэн Г., Теория игр, пер. с англ., М., 1971; Contributions to the theory of games, v.1—4, Princeton, 1950—59; Advances in game theory, Princeton, 1964.

  Н. Н. Воробьев.

Игра', вид непродуктивной деятельности, где мотив лежит не в результате её, а в самом процессе. И. сопровождает человечество на протяжении всей его истории, переплетаясь с магией, культовым поведением, спортом, военными и др. тренировками, искусством, в особенности исполнительскими его формами. И. свойственны и высшим животным. И. изучается историками культуры, этнографами, психологами (в частности, в связи с детской психологией), историками религии, искусствоведами, исследователями спорта и военного дела. В математической игр теории И. определяется как математическая модель конфликтной ситуации. Происхождение И. связывалось с магико-культовыми потребностями или врождёнными биологическими потребностями организма; выводилось из трудовых процессов (Г. В. Плеханов, «Письма без адреса»).

  Связь И. с тренировкой и отдыхом одновременно обусловлена её способностью моделировать конфликты, решение которых в практической сфере деятельности или затруднено или невозможно. Поэтому И. является не только физической тренировкой, но и средством психологической подготовки к будущим жизненным ситуациям. В качестве абстрактной модели конфликта И. легко превращается в форму выражения социальных противоречий (превращение в средневековой Византии «болельщиков» на ипподроме в политические партии, детские игры как модели социальных конфликтов «взрослого» мира).

  Особая психическая установка играющего который одновременно и верит и не верит в реальность разыгрываемого конфликта, двуплановость его поведения роднит И. с искусством. Вопрос о соотношении И. и искусства был поставлен И. Кантом и получил философско-антропологическое обоснование у Ф. Шиллера, видевшего в И. специфически человеческую форму жизнедеятельности по преимуществу «...человек играет только тогда, когда он в полном значении слова человек, и он бывает вполне человеком лишь тогда, когда играет» (Собрание соч., т. 6, М., 1957, с. 302). Генетическая связь искусства и И. отмечалась также в позитивистских концепциях происхождения искусства (например, в теории синкретического первобытного искусства и происхождения искусства из обряда и «действа» А. Н. Веселовского). И игра, и искусство, преследуя цели овладения миром, обладают общим свойством — решение предлагается не в практической, а в условной, знаковой сфере, которая в дальнейшем может быть использована в качестве модели практического поведения. Однако между И. и искусством имеется существенное отличие: И. представляет собой овладение умением, тренировку, моделирование деятельности, отличительным свойством И. является наличие системы правил поведения.

  Ю. М. Лотман.

  В психологии первая фундаментальная концепция И. была развита немецким философом и психологом К. Гросом (1899): в И. животных он видел предварительное приспособление («предупражнение») инстинктов к условиям будущей жизни. До него английский философ Г. Спенсер высказал взгляд на И. как проявление «избытка сил». Существенной поправкой к учению Гроса явилась теория австрийского психолога К. Бюлера о «функциональном удовольствии» как внутренней субъективной причине И. С противоположной Гросу теорией И. выступил голландский зоопсихолог Ф. Бёйтендейк, считая, что в основе И. лежат не инстинкты, а более общие изначальные влечения, находящиеся за инстинктами (влечение к освобождению, влечение к слиянию с окружающим и влечение к повторению). В психоаналитической концепции австрийского врача З. Фрейда И. рассматриваются как реализация вытесненных из жизни желаний.

  В советской психологии был развит подход к И. как к социально-историческому явлению (Л. С. Выготский, А. Н. Леонтьев, Д. Б. Эльконин и др.). В частности, игры детские рассматриваются как форма включения ребёнка в мир человеческих действий и отношений, возникающая на такой ступени общественного развития, когда высокоразвитые формы труда делают невозможным непосредственное участие в нём ребёнка, тогда как условия воспитания формируют у него стремление к совместной жизни со взрослыми.

  Лит.: Плеханов Г. В., Соч., т. 14, М., 1925, с. 54—64; Леонтьев А. Н., Проблемы развития психики, М., 1971; Groos K., Die Spiele der Tiere, Jena, 1896; его же, Die Spiele des Menschen, Jena, 1899; Bühler К., Die Krise der Psychologie, Jena, 1929; Buytendijk F. J., Wesen und Sinn des Spiels, В., 1934; Huizinga J., Homo ludens, L., 1949. См. также лит. при ст. Игры детские.

  И. Б. Даунис.

Игра', посёлок городского типа, центр Игринского района Удмуртской АССР, на р. Лоза (бассейна Вятки). Железнодорожная станция в 92 км к С. от Ижевска. Узел автодорог. 15 тыс. жителей (1970). Леспромхоз, комбинат строительных деталей, заводы домостроительный и молочный, мясокомбинат.

Игре'нь, город (с1959) в Днепропетровской области УССР, на р. Самара (бассейна Днепра), в 17 км к С.-В. от Днепропетровска. Железнодорожная станция. 22 тыс. жителей (1970). Хлебный завод, гранитный карьер. Население города работает главным образом на предприятиях Днепропетровска.