Конец жизни К. был омрачен скитаниями и бедностью. Начавшаяся Тридцатилетняя война и усиление преследований протестантов католиками заставили К. искать убежища в Ульме. Там он закончил (1627) последнюю крупную работу «Рудольфовы таблицы», подводящую итог многолетних трудов по обработке наблюдений Браге. Эти таблицы давали возможность в удобной форме вычислять для любого момента времени положение планет с высокой для той эпохи точностью. Эфемериды, вычисленные К. на основании этих таблиц, позволили ему предсказать прохождение Венеры по диску Солнца, состоявшееся в 1631. В 1628 в поисках средств к существованию К. стал астрологом у полководца А. Валленштейна и до 1630 жил в Загане (ныне Жагань, Польша). Последнее произведение К. — фантастический роман «Сон», издано уже после его смерти (1634). В ноябре 1630 К. поехал в Регенсбург; в дороге он заболел и вскоре после приезда в Регенсбург умер. Рукописи К. хранятся в СССР, в Ленинграде. В 1808 в Регенсбурге поставлен памятник К., а в 1870 — в Вейле.

  Вся жизнь К. была посвящена обоснованию и развитию гелиоцентрического учения Коперника. Важнейшим аргументом в пользу центрального положения Солнца являются три закона К., положившие конец прежнему представлению о равномерных круговых движениях небесных тел. Солнце, занимая один из фокусов эллиптической орбиты планеты, является, по К., источником силы, движущей планеты. Законы К., навсегда вошедшие в основу теоретической астрономии, получили объяснение в механике И. Ньютона, в частности в законе всемирного тяготения. Уже сам К. рассуждал о «тяжести», действующей между небесными телами, и объяснил приливы и отливы земных океанов воздействием Луны.

  К. опубликовал много книг и статей; его замечательные математические способности проявились не только в астрономических работах, но и при рассмотрении задачи об измерении объёмов («Новая стереометрия винных бочек», 1615), для чего К. предложил способ, содержащий в себе начатки анализа бесконечно малых. Используя идею метода неделимых, известную ему из работ Архимеда, К. оригинальными приемами нашел объемы многих тел вращения. Сразу же после открытия логарифмов К. дал подробную теорию их использования для вычислений (1614) и составил таблицы логарифмов, по структуре похожие на современные (1624).

  Мировоззрение К. не было чуждо пифагорейским идеям, даже мистике. Он считался одним из крупнейших астрологов своего времени, хотя занимался астрологией в основном для заработка.

  Открытия К. сыграли большую историческую роль, став основой дальнейшего прогресса астрономии.

  Соч.: Gesammelte Werke, v. 1—18, Münch., 1937—69.

  Лит.: Еремеева А. И., Выдающиеся астрономы мира, М., 1966; Caspar М., Iohannes Kepler, Stuttg., 1950.

И. Кеплер.

Ке'плера зако'ны, три закона движения планет, открытые И. Кеплеромв начале 17 в. Основной труд Кеплера «Новая астрономия», напечатанный в 1609, содержал два первых закона. Третий закон был открыт позднее: в 3-й главе 5-й книги «Гармония Мира» (1619) Кеплер отметил, что идея нового закона блеснула у него внезапно 8 марта 1618 года, а 15 мая он закончил все необходимые вычисления, которые показали, что закон верен. В дальнейшем К. з. уточнялись и окончательно получили следующую формулировку.

  Первый К. з. В невозмущённом движении (т. е. в задаче двух тел) орбита движущейся точки есть кривая второго порядка, в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения. Таким образом, орбита материальной точки в невозмущённом движении — это некоторое коническое сечение, то есть окружность, эллипс, парабола или гипербола. Второй К. з. В невозмущенном движении площадь, описываемая радиус-вектором движущейся точки, изменяется пропорционально времени. Первые два К. з. имеют место только для невозмущенного движения, происходящего под действием силы притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра силы. Третий К. з. В невозмущенном эллиптическом движении двух материальных точек произведение квадратов времен обращения на суммы масс центральной и движущейся точек как кубы больших полуосей их орбит, т. е.

где Т₁ и Т₂ — периоды обращения двух точек, m₁ и m₂ — их массы, m — масса центральной точки, a₁ и а₂ — большие полуоси орбит точек. Пренебрегая массами планет по сравнению с массой Солнца,  получаем третий К. з. в его первоначальной форме: квадраты периодов обращений двух планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их эллиптических орбит. Третий К. з. может быть применен только для случая эллиптических орбит, а поэтому не имеет такого общего значения, как два первых закона. Однако, будучи применен к планетам, спутникам планет, компонентам двойных звёзд, движущимся по эллиптическим орбитам, он позволяет определить некоторые характеристики небесных светил. Так, на основании третьего К. з. возможно подсчитать массы планет, принимая массу Солнца m = 1. Зная из наблюдений период обращения одного компонента двойной звезды относительно другого и измерив её параллакс, можно найти сумму их масс. Если параллаксы звёзд неизвестны, то на основании допущения, что массы компонентов соответствуют их физическим особенностям, по третьему К. з. можно вычислить расстояния до звёзд (это так называемы динамические параллаксы звёзд).

  Открыв первые два закона, Кеплер составил основанные на них таблицы движения планет, опубликованные в 1627 под названием «Рудольфовых таблиц». Эти таблицы по своей точности далеко превзошли все прежние, ими пользовались в практической астрономии на протяжении 17 и 18 вв. Успех Кеплера в объяснении движения планет обусловлен новым методологическим подходом к решению вопроса: впервые в истории астрономии была сделана попытка определить планетные орбиты непосредственно из наблюдений.

  Уже Кеплеру было ясно, что открытые им законы не являются совершенно строгими. Если для планет они выполняются с большой точностью, то для того, чтобы представить движение Луны, оказалось необходимым ввести эллипс с вращающейся линией апсид и добавить неравенства, называемые эвекцией и вариацией. Эти неравенства были открыты эмпирически ещё Птолемеем во 2 в. (эвекция) и Т. Браге в 16 в. (вариация) и объяснены только после открытия в 17 в. И. Ньютоном закона всемирного тяготения (см. Ньютона закон тяготения). К. з., найденные из наблюдений, были выведены Ньютоном как строгое решение задачи двух тел.

  Лит.: Дубошин Г. Н., Небесная механика. Основные задачи и методы, 2 изд., М., 1968: Субботин М. Ф., Введение в теоретическую астрономию, М., 1968; Рябов Ю. А., К 350-летию открытия первых двух законов Кеплера, в кн.: Астрономический календарь на 1959, М., 1958.

  Г. А. Чеботарёв.

Ке'плера уравне'ние, трансцендентное уравнение вида

  у—с siny=x.

  Для приложений важен случай | с | < 1, когда у определяется по заданным с и х единственным образом. К. у. впервые рассматривалось И. Кеплером («Новая астрономия», 1609) в связи с задачей: на диаметре АВ полукруга АОВМ дана точка D; провести прямую DM так, чтобы она делила площадь полукруга в заданном отношении (см. рис.). К. у. играет важную роль в астрономии при определении элементов эллиптических орбит планет. В небесной механике это уравнение обычно записывают в форме

  Е—е sin Е=М,

  где е — эксцентриситет эллипса, М — средняя аномалия, Е — эксцентрическая аномалия (см. Орбиты небесных тел). Решением К. у. занимались также Ж. Лагранж (1771), П. Лаплас (1823), Ф. Бессель (1816—17), К. Гаусс (1809) и др.