Инерциальные системы отсчёта

  С той степенью точности, с какой свойства данной области пространства-времени описываются частной О. т., можно ввести и. с. о., в которых описание пространственно-временных закономерностей О. т. принимает особенно простую форму. Под системой отсчёта в этом случае можно подразумевать жёсткую систему твёрдых тел (или её мысленное продолжение), по отношению к которой определяются положения событий, траектории тел и световых лучей. Любая система отсчёта, движущаяся относительно данной и. с. о. равномерно и прямолинейно без вращения, также будет инерциальной, а система отсчёта, вращающаяся или движущаяся ускоренно, уже не будет и. с. о. Следовательно, и. с. о. образуют выделенный класс систем отсчёта. В и. с. о. справедлив закон инерции, т. е. свободная (не испытывающая воздействий др. тел) частица движется в и. с. о. прямолинейно и (при принятой синхронизации часов; см. ниже) равномерно. Требование выполнения закона инерции может быть принято как определение и. с. о. Первый закон Ньютона может рассматриваться при этом как утверждение о существовании таких систем отсчёта. Все и. с. о. равноправны; это равноправие является непосредственным выражением принципа относительности.

  Степень инерциальности системы отсчёта зависит от свойств гравитационных полей, действующих в рассматриваемой области пространства-времени. Количественные критерии применимости частной О. т. и инерциальности систем отсчёта рассматриваются в ОТО.

  В области пространства-времени, в которой справедлива частная О. т., можно пользоваться и неинерционными системами отсчёта (так же, как можно пользоваться криволинейными координатами в геометрии Евклида), но при этом описание свойств пространства-времени оказывается более сложным.

  В данной и. с. о. необходимо определить способ измерения времени и координат. В и. с. о. трёхмерная пространственная геометрия — евклидова, если прямые определить, например, как траектории световых лучей, а расстояния измерять твёрдыми масштабами. Поэтому в данной и. с. о. можно ввести декартовы прямоугольные координаты х , у , z . Для определения времени t события можно принять, что в той точке, где оно произошло, находятся часы, покоящиеся в данной и. с. о. Если события происходят в разных точках A , В , то для сравнения их времён нужно синхронизировать часы в A и В , т.е. определить значение того, что часы в А и В показывают одинаковое время. Обычное определение таково: пусть в момент t_A по часам в А посылается сигнал в В , а в момент его прибытия в В посылается такой же сигнал из В в A ; если сигнал пришёл в А в момент t’_A , то принимается, что сигнал пришёл в В в момент t_B = (t_A + t ’_A )/2 и соответственно устанавливаются часы в В . При таком определении времена распространения сигнала из A в В и из В в А одинаковы и равны (t ’_A – t_A )/2. Сигналами могут служить световые вспышки, звуковые сигналы (если среда, в которой они распространяются, покоится по отношению к данной системе отсчёта), выстрелы из двух одинаковых орудий, установленных в A и В , и т.д., требуется лишь, чтобы условия передачи сигнала из А в В и из В в А были одинаковыми. Целесообразность такого определения времени связана с тем, что в любой и. с. о. отсутствует какое-либо физически выделенное направление; описанная процедура синхронизации часов симметрична относительно A и В и поэтому не вносит анизотропии в способ описания. Отсутствие выделенного направления проявляется в том, что синхронизация любыми сигналами приводит к одному и тому же результату; к такому же результату приводит медленный (с u << с ) перенос часов из A в В . При практических измерениях времён и координат используются многочисленные косвенные методы, при условии, что они дают такой же результат, как и описанные выше процедуры. В любой другой и. с. о. координаты и время измеряются с помощью таких же масштабов и часов, синхронизируемых таким же способом. Заранее не очевидно, что времена, определённые таким образом в двух различных и. с. о., будут одними и теми же, и они действительно оказываются различными. После того как синхронизация произведена, могут измеряться скорости частиц и сигналов в данной и. с. о., в частности скорость распространения световых сигналов. Скорость света в любой и. с. о. всегда равна с .

  Преобразования Лоренца

  Рассмотренные выше активные преобразования непосредственно связаны с пассивными преобразованиями, описывающими связь между координатами и временем данного события в двух различных и. с. о. В силу принципа относительности безразлично, сообщить ли телу скорость V по отношению к данной и. с. о. L или перейти к системе отсчёта L ¢, движущейся со скоростью V относительно L , — закон преобразования координат и времени должен быть одним и тем же.

  Вследствие справедливости симметрий 1—4, преобразования, связывающие координаты и времена событий х , у , z , t и х’ , у’ , z’ , t’ , измеренные в двух и. с. о. L и L’ , должны быть линейными. Из симметрий 1—4 и требования, чтобы преобразования составляли группу, можно получить вид этих преобразований. Если система отсчёта L ’ движется относительно L со скоростью V , то при надлежащем выборе осей координат и начал отсчёта времени в L и L’ (оси х и х’ совпадают и направлены по V , оси у и у’ , z и z’ соответственно параллельны, начала координат О и О’ совпадают при t = 0 и часы в L’ установлены так, что при t = 0 часы в О’ показывают время t’ = 0) преобразования координат и времени имеют вид:

  где с – произвольная постоянная, имеющая смысл предельной скорости движения (равной скорости света в вакууме). Эта постоянная может быть определена из любого эффекта О. т. (например, замедления времени распада быстрого p-мезона). Справедливость кинематики и динамики, основанных на преобразованиях (2), подтверждена неисчислимой совокупностью экспериментальных фактов.

  Преобразования Лоренца (2) вместе с преобразованиями вращения вокруг начала координат образуют группу Лоренца; добавление к ней сдвигов во времени t’ = t + а и в пространстве х’ = х + b (где a , b произвольные постоянные размерности времени и длины) даёт группу Пуанкаре.

  Из принципа относительности вытекает, что физические законы должны иметь одинаковую форму во всех и. с. о.; следовательно, они должны сохранять свой вид при преобразованиях Лоренца. Это требование называется принципом (постулатом) релятивистской инвариантности, или лоренц-инвариантности (лоренц-ковариантности), законов природы.

  Из преобразований Лоренца вытекает релятивистский закон сложения скоростей. Если частица или сигнал движется в L по оси х со скоростью u , то в момент tx = ut и скорость частицы u’ = x’ / t’ , измеряемая в системе L’ , равна:

  Эта формула отражает основную черту релятивистской кинематики — независимость скорости света от движения источника. Действительно, если скорость света, испущенного покоящимся в некоторой и. с. о. L источником, есть с , u = с , то из закона сложения скоростей (2) получаем, что измеренная в и. с. о. L’ скорость света u’ также равна с . Так как направление оси х произвольно, то отсюда следует независимость скорости света от движения источника. Это свойство скорости света однозначно определяет вид преобразований Лоренца: постулировав независимость скорости света от движения источника, однородность пространства и времени и изотропию пространства, можно вывести преобразования Лоренца.