Стокса формула выражает криволинейный интеграл по замкнутому контуру через П. и. второго рода по ограниченной этим контуром поверхности.
Лит.: Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 2, М., 1973: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 2, М., 1973; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973.
Поверхностный слой
Пове'рхностный слой, тонкий слой вещества близ поверхности соприкосновения двух фаз (тел, сред), отличающийся по свойствам от веществ в объёме фаз. Особые свойства П. с. обусловлены сосредоточенным в нём избытком свободной энергии (см. Поверхностная энергия , Поверхностное натяжение ), а также особенностями его строения и состава. П. с. на границе конденсированных фаз часто называют межфазным слоем. Толщина П. с. зависит от разности плотностей фаз, интенсивности и типа межмолекулярных взаимодействий в граничной зоне, температуры, давления, химических потенциалов и др. термодинамических параметров системы. В одних случаях она не превышает толщины мономолекулярного слоя, в других — достигает десятков и сотен молекулярных размеров. Так, П. с. жидкостей вблизи критических температур смешения могут иметь толщину 1000
Л. А. Шиц.
Поверхностный сток
Пове'рхностный сток, процесс перемещения воды по земной поверхности под влиянием силы тяжести. П. с. делится на склоновый и русловой. Склоновый сток образуется за счёт дождевых и талых вод, происходит на поверхности склона вне фиксированных путей. Русловой сток проходит по определённым линейным направлениям — в руслах рек, днищах оврагов и балок. В формировании руслового П. с. иногда принимают участие также подземные воды и грунтовые воды . П. с. характеризуется объёмом воды, стекающей по поверхности (модуль стока), выраженным в л/сек ×км2 или слоем мм в год или за какой-либо другой период. В СССР наименьший модуль стока в засушливых районах равнин Средней Азии — 0—1 л/сек ×км2 , наибольший в горах Западного Кавказа — до 125 л/сек ×км2 . П. с. изменчив во времени: при среднем годовом модуле стока в бассейне р. Ворскла 2,1 л/сек ×км2 , максимальный модуль весеннего половодья 220 л/сек ×км2 ; в Приморье, где модуль среднего стока составляет 8—15 л/сек ×км2 , максимальные модули ливневого стока достигают 600—700 (и даже более 1000 л/сек ×км2 ).
К. Г. Тихоцкий.
Поверхность
Пове'рхность, одно из основных геометрических понятий. При логическом уточнении этого понятия в разных отделах геометрии ему придаётся различный смысл.
1) В школьном курсе геометрии рассматриваются плоскости, многогранники, а также некоторые кривые поверхности. Каждая из кривых П. определяется специальным способом, чаще всего как множество точек, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, П. шара — множество точек, отстоящих на заданном расстоянии от данной точки. Понятие «П.» лишь поясняется, а не определяется. Например, говорят, что П. есть граница тела или след движущейся линии.
2) Математически строгое определение П. основывается на понятиях топологии. При этом основным является понятие простой поверхности, которую можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям). Более точно, простой П. называется образ гомеоморфного отображения (т. е. взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренности квадрата (см. Гомеоморфизм ). Этому определению можно дать аналитическое выражение. Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат u и u задан квадрат, координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам 0 < u < 1, 0 < u < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = j(u, u ), у = Y(u, u ), z = c(u, u ) (параметрические уравнения П.). При этом от функций j(u, u ), Y(u, u) и c(u, u) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, u) и (u’, u’ ) были различными соответствующие точки (x, у, z ) и (x’, у’, z' ). Примером простой П. является полусфера. Вся же сфера не является простой П. Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия П. Поверхность, окрестность каждой точки которой есть простая П., называется правильной. С точки зрения топологического строения, П. как двумерные многообразия разделяются на несколько типов: замкнутые и открытые, ориентируемые и неориентируемые и т.д. (см. Многообразие ).
В дифференциальной геометрии исследуемые П. обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости П., т. е. существования в каждой точке П. определённой касательной плоскости, кривизны и т.д. Эти требования сводятся к тому, что функции j(u, u), Y(u, u), c(u, u) предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. Кроме того, требуется, чтобы в каждой точке хотя бы один из определителей
был отличен от нуля (см. Поверхностей теория ).
В аналитической геометрии и в алгебраической геометрии П. определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений:
Ф (х, у, z ) = . (* )
Таким образом, определённая П. может и не иметь наглядного геометрического образа. В этом случае для сохранения общности говорят о мнимых П. Например, уравнение
х2 + у2 + z2 + 1 = 0
определяет мнимую сферу, хотя в действительном пространстве нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют такому уравнению (см. также Поверхности второго порядка ). Если функция Ф (х, у, z ) непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные
