Многие из свойств кристаллов, принадлежащих к определённым классам, описываются предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые ¥. Наличие оси ¥ означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в том числе бесконечно малый угол. Таких групп 7, они представлены на рис. 6 образцовыми фигурами и соответствующими символами. Т. о., всего имеется 32 + 7 = 39 точечных групп, описывающих симметрию свойств кристаллов. Зная группу С. к., можно указать возможность наличия или отсутствия в нём некоторых физических свойств (см. Кристаллы, Кристаллофизика).

Обозначения и названия 32 групп точечной симметрии

Сингония	Обозначения	Название	Соотношение констант эле- ментарной ячейки
международные	по Шенфлису
Триклинная		С1	Моноэдрическая	а ¹ b ¹ с
	С1	Пинакоидальная	a ¹  b ¹  g ¹ 90°
Моноклинная	2	С2	Диэдрическая осевая	а ¹ b ¹ с
m	Cs	Диэдрическая безосная	a =  g = 90°
2/m	C2h	Призматическая	b ¹ 90°
Ромбическая	222	D2	Ромбо-тетраэдрическая	а ¹ b ¹ с
mm	C2u	Ромбо-пирамидальная
mmm	D2h	Ромбо-дипирамидальная	a = b = g = 90°
Тетрагональная	4	C4	Тетрагонально-пирамидальная	а = b ¹ с a = b = g = 90°
422	D4	Тетрагонально-трапецоэдрическая
4/m	C4h	Тетрагонально-дипирамидальная
4mm	C4u	Дитетрагонально-пирамидальная
4/mmm	D4h	Дитетрагонально-дипирамидальная
	S4	Тетрагонально-тетраэдрическая
	D2d	Тетрагонально-скаленоэдрическая
Тригональная	3	C3	Тригонально-пирамидальная	а = b = с a = b = g ¹ 90°
32	D3	Тригонально-трапецоэдрическая
3m	C3u	Дитригонально-пирамидальная
	C3i	Ромбоэдрическая
	D3d	Дитригонально-скаленоэдрическая
	C3h	Тригонально-дипирамидальная
Гексагональная		D3h	Дитригонально-дипирамидальная	а = b ¹ с a = b = 90°  g = 120°
6	C6	Гексагонально-пирамидальная
62	D6	Гексагонально-трапецоэдрическая
6/m	C6h	Гексагонально-дипирамидальная
6mm	C6u	Дигексагонально-пирамидальная
6/mmm	D6h	Дигексагонально-дипирамидальная
Кубическая	23	T	Тритетраэдрическая	а = b = с a = b = g = 90°
m3	Th	Дидодекаэдрическая
	Td	Гексатетраэдрическая
43	O	Триоктаэдрическая
m3m	Oh	Гексоктаэдрическая

  Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов (кристаллической решётки) описывается пространственными группами симметрии

. Характерными для решётки операциями являются три некомпланарных переноса а, b, с, называемых трансляциями, которые задают трёхмерную периодичность атомной структуры кристаллов. Сдвиг (перенос) структуры на векторы a₁, b₂, c₃ или любой вектор t = p₁a₁ + p₂b₂ + p₃c₃, где p₁, p₂, p₃ — любые целые положительные или отрицательные числа, совмещает структуру кристалла с собой, и следовательно, является операцией симметрии, удовлетворяющей условиям (1, а, б). Параллелепипед, построенный на векторах а, b и c, называется параллелепипедом повторяемости или элементарной ячейкой кристалла (рис. 7, а, б). В элементарной ячейке содержится некоторая минимальная группировка атомов, «размножение» которой операциями симметрии, в том числе трансляциями, образует кристаллическую решётку. Элементарная ячейка и размещение в ней атомов устанавливается методами рентгеновского структурного анализа, электронографии или нейтронографии.

  Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах G₃³ возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляционной компонентой — винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения (рис. 2, д).

  Всего известно 230 пространственных (фёдоровских) групп симметрии

, и любой кристалл относится к одной из этих групп. Трансляционные компоненты элементов микросимметрии макроскопически не проявляются, например винтовая ось в огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 групп  макроскопически сходственна с одной из 32 точечных групп. Например, точечной группе mmm или D_2h сходственны 28 пространственных групп. Совокупность переносов, присущих данной пространственной группе, есть её трансляционная подгруппа, или Браве решётка; таких решёток существует 14.

  Симметрия слоев и цепей. Для описания плоских или вытянутых в одном направлении фрагментов структуры кристаллов могут быть использованы группы

 — двумерно периодические и  — одномерно периодические в трёхмерном пространстве. Эти группы играют важную роль в изучении биологических структур и молекул. Например, группы  описывают строение биологических мембран, группы  — цепных молекул (рис. 8, а) палочкообразных вирусов, трубчатых кристаллов глобулярных белков (рис. 8, б), в которых молекулы уложены согласно спиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах .