Рис. 3.1.Ньютон и современная физика родились в этой комнате утром в день Рождества 1642 г. Мебель не является подлинной.
Пять аксиом Эвклида для формулирования геометрии, которую мы исследуем в главе 9, полностью задают структуру пространства, и с их помощью мы узнаем, где мы находимся. Три закона Ньютона полностью задают движение в этом пространстве, и с их помощью мы узнаем, куда мы направляемся. В немного упрощенном виде они выглядят так:
1. Тело продолжает равномерное движение по прямой линии, если оно не подвергается действию силы.
2. Ускорение тела пропорционально приложенной силе.
3. Каждому действию всегда противостоит равное противодействие.
Из этих трех простых утверждений вырастает все здание классической механики, как называется описание движения, основанное на законах Ньютона, а также понимание и предсказание движения частиц, снарядов, планет, а в наши дни также спутников и космических кораблей.
Первый закон Ньютона есть простое повторение формулировки анти-аристотелевского наблюдения Галилея, и иногда его называют законом инерции.
Его второй закон обычно считают самым полезным из трех, поскольку он позволяет нам рассчитать путь частицы через область, где действует сила. Там, где сила толкает сзади, мы ускоряемся в том же направлении; когда она толкает спереди, мы тормозимся. Если сила толкает сбоку, мы поворачиваем в том направлении, куда она вынуждает нас двигаться.
Сам закон записывается в форме:
Сила = масса × ускорение,
где масса (более специальный термин — инерционная масса)является мерой сопротивления частицы действию силы. Для заданной силы ускорение велико, если масса мала, но если масса велика, то ускорение мало. Другими словами, высокая инерционная масса дает низкий уровень отклика, и наоборот. Острый глаз заметит тавтологию в этом законе, поскольку он определяет массу в терминах силы, а силу в терминах массы.
Поскольку ускорение является скоростью, с которой меняется скорость, мы можем, по-видимому, оценить по достоинству то, что внутри второго закона Ньютона зарыта возможность предсказания пути частицы, подвергающейся действию силы, которая может меняться от места к месту и принимать разные значения в разные моменты времени. «Зарыта» — термин, подходящий к этому случаю, поскольку расчет путей может оказаться весьма мудреным упражнением, более похожим на эксгумацию, чем на алгебру. Тем не менее это можно проделать для ряда простых случаев; но даже для сложных полей сил, таких, которые возникают возле двойной звезды, за эту задачу можно браться, используя компьютеры (рис. 3.2). Говоря короче, мы можем интерпретировать второй закон как утверждение, что, если мы знаем, где находится частица, или даже группа частиц, в данное время, мы можем в принципе предсказать, где ее найти и куда она будет двигаться в любое более позднее время. Предсказания таких точных траекторий представляют собой одно из достижений, прославивших классическую механику.
Рис. 3.2.Орбиты космических кораблей, рассчитанные с помощью механики Ньютона. Вычисления являются сложными, поскольку космические корабли подвергаются влиянию планет. Верхняя диаграмма показывает пути Вояджера 1 и Вояджера 2, начавших свои полеты в 1977 г. и функционирующих до сих пор. Вояджер 1, самый удаленный объект во Вселенной, сделанный человеком, покидает Солнечную систему со скоростью 3,6 а.е. в год (1 а.е., одна астрономическая единица представляет собой средний радиус орбиты вращения Земли вокруг Солнца и соответствует примерно 150 миллионам километров), под углом 35 градусов к плоскости планетарных орбит. Вояджер 2 также уходит из Солнечной системы со скоростью около 3,3 а.е. в год, под углом 48 градусов к этой плоскости, но в противоположном направлении. Нижний график показывает приращения скорости космических кораблей, когда они облетали каждую из планет. Эти поддержанные гравитацией приращения гарантируют, что скорость кораблей достаточна, чтобы они могли достичь своих целей, а затем покинуть Солнечную систему.
Третий закон Ньютона более глубок, чем выглядит. На первый взгляд кажется, что из него следует лишь то, что если бита прилагает силу к мячу, то мяч прилагает равную и противоположную силу к бите. Мы, разумеется, можем чувствовать силу, приложенную к мячу, когда мы ударяем по нему битой или пинаем его ногой. Однако подлинная значимость третьего закона состоит в том, что из него следует закон «сохранения». А сохранение это как раз та тема, которой посвящена вся эта глава, так что теперь мы начинаем подбираться к намеченной жертве. Однако сначала нам следует немного распаковать использованные здесь понятия.
Закон сохраненияявляется утверждением, сообщающим о том, что ничто не меняется. Это может показаться самым неинтересным из возможных видов комментирования в науке. В действительности это, как правило, наиболее глубокий и наиболее содержательный тип научных законов, поскольку он дает интуитивное проникновение в симметрию — по существу, в форму — систем и даже в симметрии пространства и времени. Частным законом сохранения, следующим из третьего закона Ньютона, является закон сохранения импульса. В классической механике импульсом тела называется просто произведение его массы на его скорость:
Импульс = масса × скорость.
Из этого определения следует, что быстро летящее пушечное ядро имеет большой импульс, а медленно летящий шарик пинг-понга имеет маленький импульс. Импульс является характеристикой силы удара движущегося тела при его столкновении с объектом, характеристикой той разницы, которую иллюстрирует сравнение ударов пушечного ядра и шарика для настольного тенниса. Закон сохранения импульса утверждает, что полный импульс системы частиц не меняется, если на систему не действует никакая внешняя сила. Поэтому, например, когда соударяются два бильярдных шара, их общий импульс после соударения остается таким же, каким он был до него. Прежде чем мы сможем понять это утверждение, нам придется более полно рассмотреть содержание понятия «импульс».
Импульс есть направленная величина, в том смысле, что две частицы одинаковой массы, движущиеся с одинаковой скоростью, но в разных направлениях, имеют разные импульсы. Два бильярдных шара, катящиеся друг к другу по одной прямой с одинаковой скоростью, имеют равные, но противоположно направленные импульсы, а их общий импульс равен нулю. Когда они сталкиваются «лоб в лоб», они останавливаются, так что импульс каждого мгновенно обращается в нуль, а общий импульс после столкновения снова равен нулю. Мы видим в этом примере, что, хотя импульсы отдельных частиц меняются, общий импульс остается неизменным. Это заключение обобщается на все случаи: какие бы импульсы ни имели индивидуальные частицы первоначально, сумма этих моментов (с учетом различных направлений и величин импульсов) после взаимодействия частиц будет оставаться такой же, какой была прежде (рис. 3.3). Бильярд как таковой является игрой, основанной почти полностью на принципе сохранения импульса: каждое столкновение шаров между собой или шара с бортом подчиняется этому закону и порождает различные траектории движения по столу, зависящие от первоначального угла подхода.
Рис. 3.3.Столкновения и взаимодействия в целом сохраняют импульс в том смысле, что полный импульс после столкновения остается таким же, каким он был в начале. Здесь мы видим столкновение шара с группой шаров. Импульс ударного шара указан с помощью длины и направления стрелки слева. Этот импульс передается шести «красным» шарам, и их индивидуальные импульсы заданы длинами и направлениями стрелок справа. Если вы сложите эти стрелки «головой к хвосту», не меняя их ориентации, вы получите в результате длину и направление начальной стрелки.
