Далее нам следует узнать кое-что о том, как волновая функция меняется во времени. Необходимо теперь иметь в виду нечто новое, а именно то, что волновая функция осциллирует с частотой, пропорциональной полной энергии частицы. Мы можем представить себе волновую функцию медленно движущейся (обладающей низкой энергией) частицы как медленно осциллирующую, а волновую функцию быстро движущейся (обладающей большой энергией) частицы как осциллирующую быстро (рис. 7.9). Волновая функция на рис. 7.9 ведет себя точно таким же образом и осциллирует со скоростью, определяемой ее энергией.

Наконец, предположим, что мы не знаем точно энергию шарика (возможно, дрожат наши руки, держащие проволоку, или по шарику колошматят молекулы воздуха). В этом случае волновая функция не будет в точности похожа на изображенную нами, а будет суммой большого числа подобных волновых функций с несколько отличающимися формами. Результирующая суперпозиция будет волновым пакетом, похожим на изображенный на рис.  7.7. Как мы уже видели, каждая индивидуальная волновая функция осциллирует как во времени, так и в пространстве, поэтому форма, которую они образуют, складываясь вместе, меняется, ибо в один момент в одном месте гребни могут наложиться друг на друга, но затем гребень превращается во впадину, и волновой пакет принимает другую форму. Когда мы исследуем эту сумму, оказывается, что область конструктивной интерференции, создающей волновой пакет, перемещается слева направо. То есть шарик ускоряется слева направо, в точности как мы знаем из классической физики. Поэтому, когда вы наблюдаете повседневные объекты в их знакомых движениях — прыгающие мячи, летающие самолеты, гуляющих людей, — созерцайте умственным взором мысль о том, что вы наблюдаете волновые пакеты и что под их поверхностью пульсирует суперпозиция волн.

Квантовая механика делает ряд предсказаний, которые шокирующе отличаются от предсказаний классической механики, и пришло время рассмотреть эти различия. Давайте предположим, что горизонтальная проволока является короткой и что движение шарика ограничено всего несколькими сантиметрами посредством зажимов на каждом конце, как на счетах. Решающей чертой здесь является то, что допустимы только те волновые функции, которые согласуются с краевыми точками, так же как струна скрипки, зажатая в определенном месте, может совершать лишь колебания, допускаемые ее концами. Поскольку кривизна волновой функции определяется кинетической энергией шарика, а значит, его полной энергией (так как потенциальная энергия постоянна), мы заключаем, что в таком устройстве шарик может обладать только определенными энергиями. Другими словами, энергия шарика квантована, в том смысле, что она принимает дискретные значения, а не меняется непрерывно (рис. 7.10). Это общее заключение: квантование энергии, первоначально предполагаемое Планком и Эйнштейном, является следствием уравнения Шредингера и требования, чтобы волновая функция была должным образом согласована с пространством, по которому странствует частица. Вот так квантование энергии автоматически вытекает из уравнения Шредингера и так называемых «граничных условий» системы.

Квантование интересным способом возникает в случае маятника, создавая один необычный аспект. Сначала рассмотрим волновую функцию для положения качающегося груза с точно определенной энергией (так, что он находится в определенном квантовом состоянии). Потенциальная энергия груза возрастает, когда груз отклоняется в какую-либо сторону, поэтому его кинетическая энергия падает, чтобы сохранить полную энергию постоянной, и с классической точки зрения мы можем ожидать, что волновая функция имеет наибольшую амплитуду в крайних точках качания, где груз задерживается дольше. Мы уже видели одну такую волновую функцию (рис.  7.5). Так же как для шарика между зажимами, допустимыми волновыми функциями будут те, которые согласуются с рядом величин, допускаемых качанием от одной поворотной точки до другой. Поскольку только некоторые из возможных волновых функций ведут себя подходящим образом, и каждая волновая функция соответствует определенной энергии, отсюда следует, что только некоторые энергии являются допустимыми. Оказывается, что эти допустимые энергии образуют однородную лестницу величин с разделительным интервалом между «ступеньками», который мы запишем как ħ × частота, где ħ— постоянная Планка, а частота (о которой мы скоро скажем больше) является параметром, обратно пропорциональным корню квадратному из длины маятника. Для маятника длиной 1 м на поверхности Земли вычисления дают частотув 0,5 Гц, поэтому интервал между допустимыми энергетическими уровнями представляет собой очень маленькую и совершенно не регистрируемую величину в триста триллионно-триллионно-триллионных джоуля (3×10 ^{− 34}Дж), но он существует. Некоторые из этих энергий и соответствующие им волновые функции изображены на рис. 7.11.

Теперь, вот удивительная черта. Предположим, что мы оттягиваем груз и отпускаем его. Он будет раскачиваться в некотором диапазоне энергий, возможно, из-за толчков молекул воздуха или неровности подставки. Поэтому его реальная волновая функция будет волновым пакетом, сформированным суперпозицией большого числа функций, подобных изображенным на иллюстрации. Волновой пакет прокатывается из стороны в сторону, двигаясь быстрее, когда маятник вертикален, и медленнее на краях размаха качаний, так же как классический маятник. Более того, и это удивительно, частота качаний — число качаний груза из стороны в сторону за секунду — в точности равна параметру частоты, появляющемуся в выражении для интервалов между квантовыми энергетическими уровнями. Поэтому, когда вы наблюдаете качание маятника, вы не только видите движение волнового пакета, вы видите также, наблюдая частоту, прямое отображение в высшей степени близко расположенных энергетических уровней. Другими словами вы непосредственно наблюдаете квантование. Маятник является мощным усилителем для интервалов между его квантовыми энергетическими уровнями, и когда вы наблюдаете однометровый маятник, качающийся туда-сюда, вы непосредственно наблюдаете энергетический интервал в триста триллионно-триллионно-триллионных джоуля. Я думаю, что это удивительно.