Коль скоро мы преодолели интеллектуальный бугор и признали то обстоятельство, что существуют разные типы неевклидовых геометрий, мы способны перейти к представлению о пространстве, геометрия которого может меняться от места к месту. То есть различные области — пространства могут иметь разную кривизну. Например, мы можем представить себе пространство, похожее на гантель, полученное сжатием сферы в области экватора, превращающем его в талию гантели. Это пространство будет иметь положительную кривизну около полюсов и отрицательную кривизну в седлообразной окрестности экватора. Мы могли бы пойти дальше и вообразить более сложные пространства, втыкая пальцы в эту поверхность и создавая небольшие кратеры, испещряющие ее так, чтобы кривизна менялась от места к месту. Вам может понравиться рассматривать повседневные объекты, которые имеют поверхности с кривизной, меняющейся от места к месту (например, вы сами).

Когда мы думаем о пространствах, вложенных в пространства более высокой размерности, мы встаем на точку зрения надменного сверхсущества, которое может судить на глазок, имеется ли тут кривизна. Предположим, однако, что мы муравьи, и наше воображение ограничено реальным пространством, в котором мы обитаем: может ли муравей узнать, искривлена ли Земля, можем ли мы определить, искривлено ли наше пространство-время? Ответ уже следует из текущего обсуждения, поскольку путешествия, которые вы и я предприняли, и вопрос о том, столкнемся ли мы с вами нос к носу или нет, можно представить себе имеющими место на поверхности, независимо от того, считаем мы ее во что-то вложенной или нет. Таким образом, если вы и я отправляемся по двум параллельным с виду путям и сталкиваемся носами, то мы знаем, что пространство, в котором мы пребываем, имеет положительную кривизну. Это заключение не зависит от того, можем ли мы вообразитьнаше пространство вложенным в пространство более высокой размерности или нет.

Мы можем развить эту мысль дальше и научиться измерять кривизну пространства количественно. Пойдемте со мной на Северный полюс (рис. 9.15). Теперь, когда мы здесь, давайте вытянем, каждый, по одной руке, указывая ею вниз прямо на юг, на Гринвич, вдоль меридиана 0°. Свисток, и вы отправляетесь на юг и идете, пока не достигнете экватора. Продолжая указывать рукой на юг, вы идете вдоль экватора, пока не достигнете 90° восточной долготы. Из этой точки, все еще показывая рукой на юг, вы возвращаетесь на Северный полюс. Я, в свою очередь, наблюдаю, как вы появляетесь из-за горизонта. Однако, к нашему общему огромному удивлению, мы обнаруживаем, что ваша рука повернута на 90° относительно моей, несмотря на то, что вы педантично указывали ею строго на юг на протяжении всего вашего путешествия! В плоском пространстве направления, наших рук совпадали бы, поэтому мы заключаем, что реальная поверхность Земли плоской не является. Более того, мы можем описать количественную меру «кривизны» как изменение угла, на который повернута ваша рука, деленное на площадь области, ограниченной вашим маршрутом, что дает 1 / радиус ², где радиусявляется радиусом Земли. Так как радиус Земли равен 6400 км, кривизна ее поверхности составляет 2,4×10 ⁻⁸  км ⁻². Это очень маленькая кривизна, указывающая на то, что нам придется делать обход очень большой площади, для того чтобы эффект стал заметным. Вот  почему землемеры Хаммурапи не замечали ее: поля, которые они измеряли в Месопотамии, имели площади лишь в несколько тысяч квадратных метров, и кривизна Земли просто не могла быть видна. Кривизна футбольного мяча с радиусом 10 см равна 0,01 м ⁻², так что эта кривизна становится заметной на областях его поверхности, занимающих довольно небольшую площадь. Для сферы кривизна будет оставаться одинаковой, где бы мы ни начали наше путешествие и какую бы площадь мы ни обошли. Кроме того, кривизна на ней всюду положительна. Куриное яйцо также всюду имеет положительную кривизну, но ее значения меняются примерно от 0,2 см ⁻²на тупом конце до 0,4 см ⁻²на более круто искривленном остром конце.

У нас нет необходимости совершать путешествия по поверхностям реальной материальной Земли, футбольного мяча или яйца, чтобы вычислить кривизну. Если бы я оставался на месте, а вы бы путешествовали в пустом пространстве по замкнутой петле и в конце вашего путешествия мы увидели бы, что наши руки указывают в одном направлении, мы были бы вправе заключить, что эта область пространства является плоской и евклидовой. Если бы мы увидели, что между нашими руками есть угол, мы заключили бы, что эта область пространства искривлена и поэтому неевклидова. В этом случае относительное положение наших рук показало бы знак и величину кривизны данной области пространства. В общем случае, путешествие по разным областям пространства может давать разные результаты. Мы даже можем обнаружить, что различные ориентации петлеобразных путешествий вокруг одной и той же точки приводят к разным результатам. Это род эксперимента, который мы могли бы проделать, чтобы определить, геометрия какого рода преобладает в данной области пространства.

Мы нуждаемся еще в одном понятии, прежде чем получим возможность вполне оценить свойства искривленного пространства. Геодезическойназывается путь через пространство, который не отклоняется ни вправо ни влево. Геодезической в плоском пространстве является прямая линия. Значительная часть геометрии Евклида касается свойств фигур (таких, как треугольник и четырехугольник), построенных из отрезков геодезических — прямых линий — на плоскости. В некоторых видах пространств кратчайшим расстоянием между двумя точками является длина геодезической, соединяющей эти точки. На поверхности сферы геодезические проходят по большим кругам. Например, если мы путешествуем вдоль линии определенной долготы (такой, как гринвичский меридиан), то мы следуем по геодезической между двумя положениями с одной и той же долготой. Если две точки имеют разные широту и долготу, как Лондон и Нью-Йорк, кратчайшее расстояние между ними проходит по меньшей дуге большого круга, проходящего через них. Вообще говоря, коммерческие авиалинии проходят по геодезическим, соединяющим пункты вылета и назначения.

Настало время сделать шаг от искривленного пространства к искривленному пространству-времени. Этот шаг не столь травмирует, как можно было бы ожидать, поскольку большую часть необходимых понятий можно импортировать из нашего обсуждения искривленного пространства. Чтобы вообразить искривленное пространство-время, мы можем представить себе двумерное пространство с одной пространственной размерностью и одной временной, вложенное в трехмерное пространство, точно так же, как мы представляли себе двумерное пространство. Если пространство-время является плоским, геодезические представляют собой прямые линии на двумерной поверхности. Однако из забавной геометрии пространства-времени следует, что геодезическая, соединяющая две точки, соответствует наибольшему расстоянию между ними (вспомним Кастора и Поллукса). Искривленное двумерное пространство-время можно изобразить в виде изогнутого листа в трехмерном пространстве. Так же как в плоском пространстве-времени, геодезические — которые теперь могут извиваться по пространству в зависимости от его локальной структуры — соответствуют самым длинным интервалам между точками, которые они соединяют.