И.К. Мы взяли эту плотность степенного распределения, в простейшем случае она зависит от одного параметра «бета» и обладает следующими свойствами. Во-первых, плотность степенного распределения степенным образом затухает, когда её аргумент стремится к нулю, и тем медленнее, чем меньше параметр «бета». И, кроме того, если «бета» больше, то она достаточно быстро убывает. И, во-вторых, моменты порядка «целая часть параметра „бета“ обращаются в бесконечность для этого степенного распределения. Таким образом, если у нас „бета“ приняло значение между двумя и тремя, то „целая часть параметра бета“ равно двум и степенное распределение не имеет дисперсии. То есть дисперсия обращается в бесконечность. Таким образом, соответствующий случайный процесс должен совершать гигантские выбросы, чтобы набрать такую дисперсию. Действительно, существует такая северная горная река Тура, которая протекает в Эвенкийском Национальном округе, в горах, между реками Енисеем и Леной, и для неё оценка параметра „бета“ равна 2,63. То есть там имеют место гигантские выбросы.
Вообще говоря, применение степенного распределения в корне меняет въевшееся в плоть и кровь представление о надёжности и риске. Вот мы рассмотрели максимальные уровни для реки Невы. И для того, чтобы исследовать повторяемость наводнений, мы рассмотрели наше степенное распределение и принятое в гидрологии гамма-распределение. Вот крупнейшее наводнение на реке Неве произошло в Петербурге. Его описал Пушкин в поэме «Медный всадник». Он писал, что «вода и больше ничего» – настолько залило Петербург. Уровень воды реки Невы 19 ноября 1824-го года достиг 421 сантиметра. Если использовать гамма-распределение, то такое наводнение повторяется один раз в 22 тысячи лет. То есть оно является чрезвычайно редким и совершенно невероятным.
А если использовать степенное распределение и рассчитать повторяемость, то оно происходит один раз в 667 лет и является, в общем, вполне реальным.
Следующее крупное наводнение произошло 23 сентября 1924-го года. Уровень в реке Неве был 380 сантиметров. С точки зрения гамма-распределения такое наводнение повторяется раз в 2700 лет. А с точки зрения степенного распределения, оно повторяется один раз в 2,5 века и является вполне реальным событием. Получив это, мы сравнили нашу модель с гидродинамическими моделями, которые были разработаны в Петербурге. И вот в таблице видно, что наша модель и гидродинамические модели очень хорошо соответствуют друг другу. А плотности степенного распределения и гамма-распределения хорошо совпадают в средней части и очень сильно различаются в области катастрофических наводнений. Именно этим и объясняется разница в такой повторяемости.
В.Н. Я хотел бы здесь добавить, что гидродинамические модели, которые использовались для расчёта и описания наводнений, неявно, – и явно, конечно, – учитывали нелинейный характер воды движения в Финском заливе. Именно они и дали такой правильный результат – с нашей точки зрения.
Мы рассчитывали натурные данные конечно не только для Невы, но и для других рек. Например, Янцзы. Хорошо известно, что там в 1931-м году произошло крупнейшее наводнение, унёсшее 1,3 миллиона жизней. Что оказалось здесь? Мы рассчитывали наводнение 54-го года, по 31-му году у нас не было данных. Оказалось, везде наблюдается одна и та же картина: невероятное, с точки зрения обычных формул гидрологии, оказывается вероятным с точки зрения степенного закона. То есть, нужен пересмотр всех этих явлений с точки зрения правильного описания статистики редких событий.
Исследовали такую реку – Западная Двина. То же самое. В Витебске в 31-м году было крупнейшее наводнение. Обычные формулы дают – невероятно. Наша формула даёт раз в шесть большую вероятность. Через три года это наводнение повторяется. И в Миссури мы анализировали максимальный расход воды, потом исследовались высокие уровни воды в Амуре. Потом исследовали (правда, тут маловато данных, но, тем не менее, из-за любопытства), например, наводнение на Северном Кавказе прошлым летом, наводнение в Чехии и Германии – исследовались июльские и августовские расходы воды в Эльбе.
Везде наблюдалась та же картина. Вероятность наводнений, вычисленных на основе такого вот экспоненциального семейства, в 6, 7 (и даже больше, если особо выдающиеся наводнения) больше вероятности по гамма-распределению.
Ещё тут важен и такой момент. Каковы результаты степенной статистики? Ирина Аркадьевна уже говорила, что ущерб может приобретать неограниченную дисперсию. Более того, иногда может и математическое ожидание не иметь конечного результата. То есть, возникает вопрос, не могут же на планете существовать бесконечные силы наводнения?
А.Г. Всемирный потоп.
В.Н. Да, да, вроде того. Надо предложить какую-то конструктивную гипотезу. Мы выполнили анализ того стохастического дифференциального уравнения, о котором я говорил, и оказалось, что этот степенной закон, который возникает за счёт нелинейной связи между стоком и влагозапасом, и характеризующийся сильной нелинейной связью, с ослабеванием этой связи начинает постепенно сходить на нет. И в области больших значений исследуемой величины вырождается в гауссовский закон, то есть экспоненциальный. Но в достаточно широкой области он справедлив. А поскольку сейчас мы живём в такую климатическую эпоху, что увлажнённость суши ещё не так велика (примерно 20-40 сантиметров в десятиметровом слое воды – это достаточно мало), то такие гигантские наводнения происходили в прошлом, случаются в настоящем, и ещё будут случаться в будущем. Потому что ограничения на расход воды, на увлажнённость речных бассейнов ещё далеко не достигнуты.
А.Г. Предела ещё они не достигли?
В.Н. Да, поэтому можно показать, и показано, и даже опубликованы математические работы, которые показывают ограничение этого степенного закона. С точки зрения математической физики можно сказать, что этот степенной закон представляет собой промежуточную асимптотику, характерную для многих задачи физики.
Но что касается эффекта Харста, который мы рассмотрели с разных позиций, то в некоторых работах эта расходимость спектральной плотности, медленное затухание корреляции объясняется следующим эффектом – возникновением хаоса в динамических системах. Есть такие работы. Но для того чтобы нам как-то использовать такие работы, мы, изучая природные явления, должны предложить свою теорию динамического хаоса природных явлений. Потому что свойства этого хаоса ещё далеко не изучены и не известны, поэтому и идут такие дебаты по проблемам климата. Мы решили рассмотреть задачу, в которой воды суши участвуют очень активным образом. Какая это задача? Мы написали уравнение теплового баланса земли, то есть Солнце нагревает Землю, часть тепла поглощается, часть излучается, часть уходит в космическое пространство. Написали уравнение водного баланса, уравнение динамики речного стока. Написали уравнение баланса диоксида углерода за счёт выделения его с океанов или с суши. Таким образом, мы получили простую нелинейную систему.
Ведь надо учитывать такие важнейшие климатические параметры, как альбедо – функция увлажнённости. То есть альбедо болот, например, в несколько раз меньше, чем альбедо пустынь. И это хорошо просматривается по спутниковым данным, по которым у пустыни Сахары очень высокое альбедо. Так вот, оказывается, что по мере увлажнения суши тоже возникает положительная обратная связь. Увлажнённость растёт, планета сильнее разогревается, океаны больше испаряют, больше влаги попадает на сушу, влажность снова растёт. Но эта положительная связь известна в климатологии. А вторую положительную связь я уже называл при анализе динамики колебаний уровня Каспийского моря.
Оказалось очень важным, что эта система может быть сведена к системе нелинейных осцилляторов, типа Дюффинга или Ван дер Поля, а тепловой режим планеты здесь фигурирует в качестве вынуждающей силы для этих осцилляторов. Так вот, оказалось, что решение этих уравнений может иметь сложный непредсказуемый характер – хаотический характер, как говорят специалисты в области нелинейной динамики и других нелинейных задач.
