В этой формулировке под «возмущающим воздействием» следует понимать как внешние воздействия среды, включая и конфликты управления, так и внутренние изменения (поломки и т. п.) в замкнутой системе. Этот пример также иллюстрирует соотношение понятий «устойчивость в смысле ограниченности отклонений» и в смысле предсказуемости поведения.

К манёврам перехода предъявляются разные требования, но наиболее часто предъявляется требование плавности, безударности, т. е. отсутствия импульсных (ударных) нагрузок на замкнутую систему в процессе её движения по идеальной траектории манёвра с допустимыми отклонениями в пространстве параметров. В математической интерпретации это требование эквивалентно двукратной дифференцируемости по времени вектора состояния замкнутой системы и наложению ограничений на вектора-производные («скорость», «ускорение») во всём пространстве коридора допустимых отклонений на протяжении идеальной траектории. Снятие этого требования — перенос задачи управления в область приложений теории катастроф.

Теория катастроф рассматривает процессы, в которых плавное изменение параметров системы прерывается их скачкообразным изменением (предсказуемым или заранее неизвестным), после чего система оказывается в другом режиме существования или разрушается.

Этот скачок теория называет «катастрофой» (далее катастрофа в кавычках — именно в этом смысле), что в большинстве случаев практических приложений правильно, поскольку ударный характер нагрузки на замкнутую систему может её повредить, разрушить или быть неприемлемым по каким-то иным причинам. Сама теория «катастроф» родилась из обобщающего анализа реальных катастроф в их математическом описании. Режим, в котором оказывается система после «катастрофы», может быть предсказуем — либо однозначно, либо в вероятностно-статистическом смысле, либо непредсказуем.

Типичный пример явлений, изучаемых теорией «катастроф», — переход колебательного процесса из одной потенциальной ямы в другую потенциальную яму: так в шторм корабль испытывает качку относительно одного устойчиво вертикального положения — нормального: днищем — вниз, палубой — вверх. Плавное увеличение амплитудных значений крена при качке может привести к внезапному опрокидыванию корабля кверху днищем в течение интервала времени менее полупериода качки (секунды) в процессе усиления шторма, обледенения и т. п. Но и опрокинувшийся корабль может не сразу же пойти ко дну, а может ещё длительное время оставаться на плаву кверху днищем, по-прежнему испытывая качку относительно своего другого, также устойчиво вертикального положения, но уже не нормального.

«Неплавная» траектория может быть проекцией вполне «плавной» траектории, лежащей в пространстве параметров большей размерности, в подпространство меньшей размерности. Область потенциально устойчивого по предсказуемости управления в пространстве параметров вектора состояния по отношению к конкретной замкнутой системе — объективная данность. В ней лежит множество объективно возможных траекторий манёвров; и множество объективно невозможных. Во множестве объективно возможных траекторий можно выделить подмножество траекторий, на которых лежат точки «катастроф». Это могут быть точки нарушения двукратной дифференцируемости по времени вектора состояния; точки превышения ограничений, налагаемых на вектора-производные; точки изменения меры предсказуемости (например, точки ветвления траекторий в вероятностном смысле); точки на границах между двумя потенциальными ямами и т. п.

Если рассматривать сказанное по отношению к железнодорожному транспорту страны, то: область потенциально устойчивого управления — вся территория государства; множество объективно возможных маневров — существующая сеть железных дорог. Множество объективно невозможных — всё, где нет рельсов и где невозможно по техническим причинам проложить рельсы или построить стрелочные переводы для изменения направления движения. Точки катастроф — неисправные пути и стрелочные переводы, слишком крутые повороты и негабаритные места, непроходимые для некоторых видов подвижного состава и локомотивов и т. п. — то есть это реальные возможности катастроф. По отношению к каждому из видов груза железнодорожные узлы — точки ветвления их траекторий в вероятностном смысле.

Этот пример хорошо показывает соотношение всех перечисленных категорий, но сами «катастрофы» теории катастроф в нём представлены только реальными катастрофами железнодорожного транспорта. Далее, чтобы не путаться в катастрофах в кавычках и без кавычек, мгновенную потерю управления — в смысле теории «катастроф» — мы будем называть срыв управления.

Причины срывов управления могут быть самые различные и могут лежать на любом из этапов полной функции управления.

Две любые точки в пространстве параметров, описывающих замкнутую систему (два вектора состояния), могут соединять более чем одна траектория. Среди этих траекторий могут быть траектории, отвечающие требованию плавности, и траектории, хотя и не проходящие через точки срыва управления, но по которым «жёстко ездить» из-за превышения ограничений, налагаемых на вектора-производные. Возможны ситуации, когда все траектории, соединяющие начальный и конечный вектора состояний, проходят через точки срыва управления. Но чаще приходится сталкиваться с тем, что неквалифицированные управленцы, потеряв управление и зная о способности управляемой ими иерархически организованной системы к самовосстановлению управления в некотором режиме после включения в процесс иных её уровней организации, начинают дурачить головы доверчивым простакам ссылками на «теорию катастроф» и «шоковую терапию». Чаще других этим грешат политиканы. Для них точки «катастроф» — точки, в которых обнажается их несостоятельность в качестве управленцев.

В действительности же следует исследовать геометрию области предполагаемого маневрирования на предмет её полного включения в область потенциально устойчивого управления. Если же какие-то фрагменты области предполагаемого маневрирования содержат в себе точки срыва управления, выпадают из области потенциально устойчивого (при необходимом качестве) управления по причине много-связности[43] области, отсутствия её выпуклости и т. п., то такие зоны необходимо исключить и пролагать траектории маневров в обход них (и точек срыва управления в частности).

Именно этим занимаются все квалифицированные навигаторы: зная осадку корабля, при подходе к берегу, на навигационной карте они проводят границу района, запретного для маневрирования из-за малости в нём глубин. Кроме того, курс пролагается по возможности вдали и от одиночных опасностей: затонувших судов, скал и т. п. В те же времена, когда составлялись первые карты, в незнакомые районы под всеми парусами тоже никто не совался: шли с осторожностью, делая непрерывно промеры глубин; иногда корабль лежал в дрейфе или стоял на якоре, а промеры делали со шлюпки.

Манёвр перехода из одного балансировочного состояния в другой, отвечающий требованию плавности, если позволит время, распадается на три периода:

· выход из балансировочного режима,

· установившийся манёвр (сам балансировочный режим, но с другим вектором целей),

· вхождение в новый балансировочный режим.

Теперь, после достаточно подробного ознакомления с понятийным и терминологическим аппаратом теории управления, перейдем к описанию процессов управления и самоуправления в суперсистемах и их иерархиях.

Под суперсистемой мы понимаем множество элементов, хотя бы частично функционально аналогичных в некотором смысле друг другу. «Аналогия» и «подобие» в контексте настоящей работы — не синонимы. Аналогия предполагает возможность прямой замены одного другим; подобие (полное или частичное) предполагает только идентичность процессов, протекающих в разных объектах, при их описании в общей для них системе параметров, лишённых их реальной размерности.