Гаусс вывел общую формулу для вычисления φ(Ν). Если мы разложим N на простые множители ρ₁,ρ₂, ...,р_n, то получим N = р₁^m₁, p₂^m₂ · ... · p_n^m_n, где p_i простые числа, a m_i — кратность их повторения. Формула имеет вид:

Если применить формулу к N= 10, то

чего и следовало ожидать.

Формула зависит от простых чисел, на которые раскладывается N, а не от кратности их повторения. В случае с N = 180 получается, что 180 = 2² · З² · 5, следовательно,

Раздел заканчивается доказательством основной теоремы о многочленных сравнениях. Так, сравнение степени m,

a_mx^m + a_m-1x^m-1 + ··· +а₁x + b == 0 (mod р),

модуль которой р — простое число, не являющееся делителем а_m, может быть решена не более чем m различными способами или не может иметь больше m корней, не сравнимых по модулю р.

В разделе III, озаглавленном De residuis Potestatum («О степенных вычетах»), говорится о квадратичных вычетах и вычетах большей степени. Если заданы целые числа тип, где m не является делителем n, и если существует такое число x, что х² = m (mod n), говорят, что m — квадратичный вычет по модулю n; в противном случае говорят, что m — квадратичный невычет по модулю n. Например: 13 — квадратичный вычет по модулю 17, поскольку уравнение х² == 13 (mod 17) имеет в качестве решений х = 8, 25, 42, поскольку 8² = 64, что при делении на 17 дает 13 в остатке, 25² = 625, что при делении на 17 вновь дает 13 в остатке, и то же самое происходит с 42² = 1764.

В разделе доказывается малая теорема Ферма: np-¹ == 1 (mod p), где р — простое число, не являющееся делителем n. То есть если р — простое число, которое не является делителем n, то n^p-1 всегда делится на р. Для случая n = 8 np = 5 получается, что 8⁴-1 = 4095, а это делится на 5. Для получения этого результата Гаусс воспользовался формулой бинома Ньютона, сформулированной для сравнений. Следствием является теорема Вильсона, в которой говорится, что если задано простое число р, то

1·2·3·...·(p-1) = (p-1)! == -1 (mod p).

Произведение всех чисел, меньших заданного простого, при добавлении единицы всегда делится на это число. Если, например, мы выберем 7, то 6! = 720, а 721 делится на 7.

Три первых раздела представляют собой системное введение в теорию чисел и готовят почву для разделов IV и V.

Главный итог раздела IV — это знаменитый квадратичный закон взаимности. Теорема (в виде гипотезы) была сформулирована Эйлером в 1742 году в его письме Гольдбаху. Полвека спустя, в 1798 году, Лежандр опубликовал доказательство, основанное на недоказанных аргументах, так что первое правильное доказательство теоремы принадлежало Гауссу, который называл ее золотой теоремой. В книге Гаусса она сформулирована в следующем виде:

Если р — простое число вида 4n + 1, то +p — вычет (или невычет) по модулю любого простого числа, которое, взятое в положительной форме, является вычетом (или невычетом) по модулю p. Если р имеет вид 4n + 3, то -р обладает тем же свойством.

Скобки в теореме указывают на то, что результат может быть прочитан при исключении содержимого скобок или при включении их при замене непосредственно предшествующего выражения. Проще говоря, существует взаимность между парой сравнений х² == q (mod р) и х² == р (mod q), где р и q — простые числа. То есть если мы можем проверить первое сравнение (х² == q (mod p)), то автоматически проверяется и второе (х² == р (mod q)); и если первое неверно, то неверно и второе. Есть одно исключение, которое состоит в том, что как p, так и q в остатке дают 3, когда делятся на 4; в этом случае одно и только одно из сравнений верно.

Доказательство Гаусса начинается с эвристических соображений, результатом чего является закон для определенных простых чисел. Затем ученый переходит, по индукции, к доказательству общего случая. Это доказательство очень обширное, в нем отдельно рассматриваются восемь различных случаев. Петер Густав Дирихле, который был учеником немецкого математика и одним из главных читателей его книги, упростил доказательство, сократив число случаев до двух. Гаусс заканчивает раздел другими результатами, выводимыми из его теоремы. Только за это доказательство он достоин звания одного из самых талантливых математиков своего времени, но в этой работе будут и другие, не менее важные идеи.

Раздел V — центральная часть книги. Он посвящен выражениям типа F = ах² + 2bху + су², где а,b,с — целые числа; эти выражения были названы Эйлером квадратичными формами. Существенная часть этого раздела не является оригинальной — в ней собраны и унифицированы результаты Лагранжа по этой теме.

Проблема, которую решает Гаусс, — это определение того, какие целые числа М могут быть представлены в виде выражения ах² + 2 bху + су² = М, где x и y — целые числа. Обратная, и более интересная, проблема, которую он также решил, заключается в том, чтобы при заданных М и а, b и с найти значения x и y, которые определяют значение М в квадратичной форме. Для этого Гауссу потребовалось классифицировать квадратичные формы и подойти к ним дифференцированно. С этой целью он использовал два базовых алгебраических свойства квадратичной формы. Гаусс установил классификацию квадратичных форм и их свойств на основе дискриминантов.

В этот раздел также включено доказательство теоремы, относящейся к треугольным числам, о которой мы уже говорили.

В разделе VI представлены многочисленные примеры применения понятий, разработанных в предыдущем разделе. Основные затрагиваемые вопросы — это разложение на простые дроби; то есть разложение дроби на сумму дробей со знаменателями, образованными от знаменателя исходной дроби. Эта техника имеет широкое применение в интегралах рациональных функций, то есть тех, которые могут быть представлены в виде частного многочленов. Также речь идет о периодических десятичных дробях и решении сравнений собственными методами Гаусса. Другая интересная тема — это поиск критериев, которые позволили бы выделять простые числа без трудоемких вычислений. Как мы увидим, изучение простых чисел сопровождало ученого всю его жизнь, но мы рассмотрим это отдельно.

В алгебре дискриминант многочлена — это некое выражение из коэффициентов данного многочлена, которое равно нулю тогда и только тогда, когда у многочлена множественные корни. Например, дискриминант квадратного многочлена ах² + bх + с равен b²-4ac, поскольку формула корня данного многочлена следующая:

то есть достаточно, чтобы дискриминант в том виде, в каком мы его определили, был равен нулю, чтобы получить единое двойное решение. В случае с многочленом х²-4х + 4, поскольку у него нулевой дискриминант, мы получаем один двойной корень (2), так что, применив основную теорему алгебры, получаем х²-4х + 4 = (х - 2)².

Раздел VII — самая известная часть «Исследований», оказавшая огромное влияние на развитие науки. В этом разделе шла речь о делении круга с помощью линейки и циркуля — классической теме математики. Очевидно, что эта задача связана с построением правильных многоугольников, так что Гаусс включил сюда свое знаменитое построение многоугольника с 17 сторонами, найдя достаточное условие для построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля.

В мире математики все признают, что «Арифметические исследования» — это не просто сборник замечаний о числах. Работа знаменует собой рождение теории чисел как независимой дисциплины. Ее публикация сделала теорию чисел царицей математики — это определение очень нравилось Гауссу. И все же, несмотря на это, труд был не слишком тепло принят Парижской академией наук, которая сочла его темным и неясным. Одна из причин такого впечатления состоит в том, что Гаусс старался сохранять тайну, исключая или скрывая пути, которые привели его к открытиям. Как и следовало ожидать, математики не до конца поняли новую работу и назвали труд «книгой за семью печатями». Ее сложно читать даже специалистам, но содержащиеся в ней сокровища, включая скрытые в лаконичных синтетических доказательствах, сегодня доступны каждому, кто захочет восхититься ими, в основном благодаря работам Дирихле, который первым разбил эти семь печатей.