Четыре раздела первой части книги описывают движения тела вокруг Солнца. Раздел I содержит многие необходимые определения, такие как радиус или эксцентриситет, и тригонометрические формулы для описания положения тела в заданной точке орбиты. Также в него включены практические советы о методах экстраполяции числовых таблиц и приближения парабол к эллипсам и гиперболам. Раздел II посвящен определению положения небесного тела как функции с тремя координатами. Гаусс начал с определения семи параметров, которые определяют движение небесного тела: средняя долгота, среднее движение, наибольшая полуось, эксцентриситет, долгота восходящего узла, наклонение орбиты и масса. Затем он описал отношения между этими элементами и объяснил критерии для определения различных конических сечений. И в завершение раздела он указал дифференциальные уравнения движения небесного тела, приведя несколько практических примеров.

В разделе III ученый затронул проблему вычисления орбиты на основе нескольких наблюдений и нахождения всех параметров, описывающих движение тела, с помощью математических отношений. В последнем разделе он занялся случаем различных наблюдений, которые сделаны в той же плоскости, что и Солнце (как движение Земли, например), для которых он вывел их тригонометрические отношения. Этот короткий раздел заканчивается формулировкой уравнения для эллиптических орбит.

Принцип состоит в том, что сумма квадратов разности между наблюдаемым и вычисленными значениями должна быть минимальной.

Гаусс, определение метода наименьших квадратов

Во второй части книги Гаусс перешел к основной проблеме — определению орбиты небесного тела на основе наблюдений. Эта проблема решается в два этапа: на первом вычисляется приблизительное решение на основе трех-четырех наблюдений, а на втором оно улучшается с помощью оставшихся данных. Части 1 и 2 этого раздела посвящены первому этапу, а части 3 и 4 — второму.

Как мы упомянули, элементов движения, которые необходимо вычислить для определения орбиты, семь. В разделе 1 второй части книги Гаусс объясняет, как вычислить шесть из них, пользуясь тремя наблюдениями; седьмой (масса) должен быть определен независимо. Учитывая, что каждое наблюдение предоставляет два параметра (долготу и широту), трех наблюдений достаточно для вычислений, если только наблюдаемая орбита не находится в эклиптике или очень близко от нее.

Говоря об эклиптике, мы имеем в виду плоскость, в которой Земля движется вокруг Солнца, описывая эллипс. Для этого случая, который является предметом раздела II второй части, необходимо еще четыре независимых наблюдения. Гаусс рассмотрел случай четырех независимых наблюдений, из которых только два являются завершенными. Методологически это не ново относительно увиденного ранее, но важно, если упомянутая орбита близка к эклиптике Земли. В этом случае даже маленькие погрешности в наблюдениях могут привести к ошибочным вычислениям, если работать только с четырьмя упомянутыми наблюдениями.

Последние два раздела книги посвящены способам улучшения методов приближенного вычисления орбит, рассмотренных в двух первых разделах. В разделе III Гаусс впервые опубликовал метод наименьших квадратов как наиболее эффективный для достижения этой цели. Как мы уже видели, он был успешно использован для вычисления орбиты Цереры: Гаусс при этом опередил Лежандра в открытии метода, но не в его опубликовании. В довольно коротком разделе IV ученый сделал несколько замечаний о нарушениях эллиптических орбит, вызванных влиянием планет большого размера, что позволило вычислить массу Юпитера на основе орбиты Цереры, не вдаваясь в чрезмерные подробности. Книга заканчивается рядом очень длинных таблиц, которые проясняют отношения между различными параметрами, определяющими орбиту.

Можно утверждать, что «Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям» была самым важным астрономическим текстом в течение нескольких десятилетий после публикации. Метод наименьших квадратов стал основным инструментом: сначала это была только техника, которая затем превратилась в один из столпов натуральной философии Гаусса, и ученый значительно расширил ее применение, сделав необходимым инструментом во многих других областях математики.

Как астроном, Гаусс также ставил эксперименты по обнаружению изменения гравитации из-за земного вращения, определению географической долготы, идентификации комет и анализу сложностей в оптике телескопов.

Любое число можно разложить на простые числа, которые и составляют фундамент арифметики. Однако непросто узнать, является ли большое число простым: нет формул, которые описывали бы все простые числа, и мы даже не знаем, как они распределяются в числовом ряду. Когда Гаусс подошел к этой проблеме, ему хватило ясности ума, чтобы открыть новые пути и установить порядок там, где до этого был только хаос.

Гаусс обращал свой интерес на очень разные математические области: алгебру, арифметику, астрономию, построения с помощью линейки и циркуля и некоторые другие. Но если о какой-то теме и можно сказать, что она сопровождала его всю научную жизнь, то это изучение простых чисел и их свойств. Вполне можно заметить, что если Гаусс сделал из теории чисел «царицу математики», то лучшими драгоценностями, которые украшали ее корону, были открытия из области простых чисел — чисел, которые зачаровывали (и ужасали) целые поколения математиков.

Самое древнее доказательство интереса человечества к простым числам — это кость, датированная 6500 годом до н.э. Кость Ишанго была найдена в 1960 году в экваториальной Африке. На ней вырезано несколько столбиков с насечками. Интересно, что в одном из них содержится 11, 13, 17 и 19 отметок, то есть все простые числа от 10 до 20. Изучением простых чисел была увлечена и древняя китайская цивилизация. Для китайцев они символизировали мужественность, поскольку не позволяли представить себя в виде произведения меньших чисел. Однако именно древние греки открыли их первое важное свойство: любое натуральное число можно единственным образом представить как произведение простых чисел. Другими словами, они доказали, что простые числа — это элементы, из которых состоит вся арифметика, точно так же, как химические элементы из таблицы периодической системы составляют основу Вселенной.

Насколько известно, Эратосфен (276-194 до н. э.), библиотекарь из Александрии, был первым, кто в III веке до н. э построил таблицы простых чисел. Он придумал рационально легкий способ узнать, какие числа являются простыми на промежутке между двумя величинами, например 1 и 1000. Отставив в сторону число 1, которое не все математики считают простым, он искал первое простое число: число 2. Далее он вычеркивал все числа, кратные 2 (четные), которые, следовательно, уже не могли быть простыми. В списке незачеркнутых чисел он искал первое незачеркнутое число, которое автоматически было простым, в этом случае 3, и действовал тем же образом, зачеркивая все числа, кратные 3. Эратосфен продолжал эту процедуру, зная, что первое в его списке незачеркнутых чисел вновь будет простым (далее 5, 7,11...) и что именно оно определяет следующие числа, которые нужно удалить из списка (все кратные ему). С помощью этой процедуры он построил таблицы простых чисел. Этот метод получил название решето Эратосфена, поскольку таким образом строилась сеть, не включавшая числа, которые не могут быть простыми, точно так же, как сито золотоискателей помогает им находить самородки. Естественно, на каждом этапе ячейка решета Эратосферна меняется в размерах, поскольку процесс ускоряется.

Евклид также занимался простыми числами. В частности, его интересовал вопрос, бесконечно ли множество простых чисел. Мы можем находить простые числа в течение неопределенного времени или все же существует момент, когда они перестают появляться? Евклид нашел ответ на этот вопрос: множество простых чисел бесконечно. Древнегреческий математик выразил это, сказав, что количество простых чисел больше, чем любое число, которое можно задумать. Доказательство довольно элементарно и показывает мощь математического рассуждения, которое способно ответить на этот вопрос без необходимости искать каждый раз все большие простые числа.