Эйлер разложил каждый член ряда на произведение простых чисел. Например,

1/90 = 1/2 1/З² 1/5

Риман глубоко изучил функцию, введенную Эйлером, а также расширил сферу применения функции от действительных к комплексным числам.

Когда область определения расширяется до комплексных чисел, с функцией становится намного сложнее работать. Для начала, ее невозможно представить графически.

Зенон Элейский (ок. 490 — ок. 430 до н.э.) — древнегреческий философ, который создал ряд парадоксов, или апорий, чтобы поддержать учение своего учителя Парменида, утверждавшего, что ощущения, которые мы получаем о мире, иллюзорны. В частности, с помощью логических рассуждений Зенон пытался доказать, что физического движения не существует. Действующими лицами самого известного его парадокса являются легконогий Ахиллес и черепаха, соревнующиеся друг с другом. Поскольку воин бегал намного быстрее, он дал черепахе большую фору. После старта Ахиллес пробежал расстояние, которое разделяло соперников изначально, но по прибытии туда обнаружил, что черепахи там уже нет, она уже продвинулась вперед на небольшой кусок. Не падая духом, герой продолжил бег, но когда он пришел на то место, где была черепаха, та снова продвинулась. И так происходило до бесконечности. Таким образом, Ахиллес так и не догнал черепаху. Вывод очевиден: поскольку наши ощущения говорят нам, что Ахиллес догонит черепаху, значит, наши ощущения обманывают нас, и Парменид был прав. Однако рассуждение Зенона легко опровергается. Промежутки времени, за которое Ахиллес пробегает расстояние, отделяющее его отточки, в которой только что находилась черепаха, каждый раз все меньше, и их сумма дает конечный результат, так что человек догонит черепаху. Предположим, что Ахиллес дает черепахе изначальное преимущество в D и что воин бежит со скоростью, которая только вдвое больше скорости черепахи. Когда Ахиллес прибежит в то место, где была черепаха, животное преодолеет (1/2)D пути. Повторим рассуждение: когда Ахиллес проходит D + (1/2)D, черепаха продвигается еще на (1/4)D. Если представить это в математическом виде, то расстояние, которое должен пройти Ахиллес, чтобы догнать черепаху, задано суммой

D+D/2+D/4+D/8+...

Так что в худшем случае получается, что Ахиллес должен пробежать

но по результату Эйлера мы знаем, что сумма ряда конечна и на самом деле она равна π²/6, поэтому расстояние, которое должен пробежать Ахиллес, также конечно. Более того, расстояние, которое он пробегает до того, как догнать черепаху, — обозначим его через d — равно

d<=(1/2+π²/6) · D

Если мы выполним вычисления, получится, что d < 2,144 · D. Действительно, можно вычислить, что расстояние, которое пробегает Ахиллес, чтобы догнать черепаху, при его двойной скорости равно d = 2D.

Дзета-функция, которой пользовался Эйлер, — это действительная функция с действительным значением, то есть для действительного значения мы получаем результат, который также является действительным значением. Например, мы знаем, что

Благодаря этому можно изобразить функцию в виде графика на плоскости, которую математики обозначают R². Когда мы меняем область определения функции, то есть множество, в котором она принимает значения, на множество комплексных чисел, результат функции также становится комплексным числом. Если мы сочтем, как это сделал Эйлер, что комплексное число a + bi может быть представлено как пара (a, b) е R², и то же самое справедливо для ζ(α + bi), которое также является комплексным числом, то получается, что его графическое представление должно осуществляться в R⁴, то есть в пространстве из четырех измерений. Построение графиков в пространствах из четырех измерений нам недоступно, однако Риман смог вообразить эту функцию в четырех измерениях и понял, что существует связь между простыми числами и нетривиальными нулями функции, то есть теми, действительная часть которых лежит строго между 0 и 1.

Отмечая наступление нового тысячелетия, Институт Клэя выбрал семь математических задач, которые устояли перед всеми попытками их решения. Это было сделано в подражание Давиду Гильберту, который за 100 лет до этого определил перечень из 23 задач, ставших ориентиром для всех математиков XX века. Единственная задача, которая включена в оба списка, — это гипотеза Римана. Задачи тысячелетия охватывают самые важные области математики. Их перечень выглядит так.

1. Р относительно ΝΡ. Сформулирована Стивеном Куком в 1971 году. Возможно, это центральная проблема наук о вычислении. В основном математические проблемы сегодня классифицируются по классам Р и ΝΡ. Класс Р содержит все проблемы, которые могут быть решены с помощью алгоритма за полиномиальное время. Это означает, что число итераций ограничено многочленом, в котором переменная — «размер» проблемы. Эти проблемы решаемы с помощью компьютеров. Класс ΝΡ сформирован теми проблемами, для которых не существует алгоритмов в полиномиальном времени, но если у нас есть возможное решение проблемы из этого класса, то мы можем определить, хорошее оно или нет, за полиномиальное время. Из предыдущего определения следует, что любая проблема Р также является проблемой ΝΡ, тο есть любая проблема, решаемая в полиномиальном времени с помощью правильно подобранного алгоритма (Р), — это также проблема, которая допускает быструю проверку возможного решения (ΝΡ). Задача заключается в том, чтобы доказать (или опровергнуть), что любая проблема ΝΡ также является проблемой Р.

2. Гипотеза Ходжа. Связана с исследованием форм сложных объектов с помощью приближения на основе сочетания самых простых геометрических блоков возрастающей размерности.

3. Гипотеза Пуанкаре. Предложена в 1904 году знаменитым французским математиком Жюлем Анри Пуанкаре (1854-1912). В ее самом простом выражении говорится, что есть только одна компактная односвязная разновидность размерности 3 — трехмерная сфера. Это единственная решенная проблема в списке — корректное доказательство в 2003 году представил российский ученый Григорий Перельман (р. 1966). За это открытие ему было решено вручить Филдсовскую премию, однако ученый от награды отказался.

4. Гипотеза Римана. В ней утверждается, что действительная часть нетривиальных нулей дзета-функции Римана равна 1/2.

5. Задача Янга — Миллса. Поставлена как математическая задача и относится к изучению уравнений Янга — Миллса, крайне важных для объединения квантовой электродинамики с теорией электрослабого взаимодействия.

6. Задача Навье — Стокса. Изучение существования решения для основных уравнений движения вязких жидкостей.

7. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера. Состоит в изучении того, бесконечным или конечным является множество рациональных решений для эллиптической кривой.

При этом он начал с вычисления нетривиальных нулей функции и на основе этих вычислений и глубокого понимания сути дзета-функции предположил, что действительная часть любого нетривиального нуля функции равна 1/2. Это утверждение известно как гипотеза Римана.

Риман сразу же понял, что его гипотеза может объяснить причину, по которой результат Гаусса с функцией Li(N) оказался таким точным. Позже было доказано, что гипотеза Римана эквивалентна первой гипотезе о простых числах Гаусса.

Перфекционизм, которым страдал Риман в период своего обучения, чуть не помешал ему записать свои открытия. Без сомнения, так сказывалось влияние Гаусса, который настаивал на том, что публиковать следует только идеальные доказательства, абсолютно лишенные пробелов. В ноябре 1859 года Риман опубликовал в ежемесячных заметках Берлинской академии эссе о своих открытиях. Этим десяти страницам плотных математических рассуждений было суждено быть единственными, которые Риман опубликовал по вопросу простых чисел, и несмотря на это они оказали значительное влияние на восприятие данных чисел в будущем. И все же, несмотря на блестящую интуицию Римана, эссе не было оценено. Вслед за своим учителем, Гауссом, Риман уничтожил все «леса». Главный тезис эссе состоял в том, что функция L.(N) Гаусса будет предоставлять каждый раз все лучшее приближение к функции π(Ν) по мере нашего продвижения в расчетах. Хотя Риман предложил инструмент доказательства гипотезы Гаусса, решение осталось вне досягаемости. Впрочем, Риман ввел форму, с помощью которой в будущем оказалось возможным подступиться к проблеме. Доказательство гипотезы Римана сразу же захватило математиков.