— эллиптическая геометрия — также удовлетворяет первым четырем постулатам Евклида и имеет положительную кривизну. Что касается пятого постулата Евклида, в этой геометрии через каждую точку, не лежащую на прямой, не проходит ни одной прямой, параллельной данной (вспомним, что в евклидовой геометрии проходит только одна параллельная прямая). Это случай меридианов Земли, которые в сферической геометрии (частный случай эллиптической) считаются параллельными. На рисунке изображены прямые в различных пространствах.

Гиперболическое пространство

Евклидово пространство

Эллиптическое пространство

В качестве примера, подтверждающего важность вклада великого немецкого математика в геометрию, можно привести тот факт, что Бернхард Риман, самый выдающийся ученик Гаусса, по его просьбе посвятил свою докторскую диссертацию обобщению неевклидовой геометрии.

Хотя Гаусс не публиковал работ по неевклидовой геометрии, это не означает, что он вообще не занимался геометрическими проблемами. В 1827 году ученый представил фундаментальную работу о дифференциальной геометрии, использовавшую элементы математического анализа. Книга, озаглавленная Disquisitiones generales circa superficies curvas («Общие исследования о кривых поверхностях»), представляет собой вклад Гаусса в дифференциальную геометрию. В этой работе ученый создал дифференциальную геометрию поверхностей, которая в последующие десятилетия была дополнена работами многих математиков. Основная проблема здесь — это отражение на плоской карте геометрии других типов поверхностей. В самых простых случаях (при постоянной кривизне) появляются гомогенные геометрии: евклидова, эллиптическая и гиперболическая (именно ее разработали Бойяи и Лобачевский). Гаусс пошел намного дальше этих гомогенных пространств и ввел то, что сегодня называется кривизной Гаусса, — обобщение для поверхностей определенной кривизны на плоскости.

Это позволило ему сформулировать так называемую Theorema Egregium (выдающуюся теорему), главный результат дифференциальной геометрии. Говоря неформально, в теореме утверждается, что гауссова кривизна дифференцируемой поверхности может быть полностью определена посредством измерения углов и расстояний на самой поверхности, не ориентируясь на конкретную форму, которую она принимает в трехмерном евклидовом пространстве. Из этого следует, что понятие кривизны — это локальное свойство.

В геометрии кривая (в параметрическом виде) определяется на плоскости как отображение a (s) = (x(s),y (s)), где s — действительное число, а функции x(s) и y(s) дают координаты на плоскости. Параметрическими называются такие уравнения, в которых переменные х и у, каждая по отдельности, выражены через третью переменную, или параметр (в нашем случае s). Кривая должна быть непрерывной и дифференцируемой функцией, то есть плавной линией без углов. Так как она дифференцируемая, то в каждой точке s кривой можно определить касательную к ней. По определению кривизна а в s определяется как угол, образуемый касательной к кривой в точке s, t(s), с фиксированным направлением на плоскости, которое для удобства принимается за ось ОХ координат, то есть:

θ(s) = угол, образованный между < t(s), ось ОХ>.

Так что обычная кривизна k(s) кривой определяется как дифференциал функции θ, то есть:

k(s) = θ'(s).

На самом деле k{s) измеряет удаленность кривой от касательной прямой. Кривизна Гаусса, которая в некотором роде обобщает это понятие для поверхностей, может быть определена различными способами, самый простой из них задан выражением:

К=k · k₂,

где k₁ и k₂ — это главные кривизны в каждой точке пространства.

Изометрия — это математическое преобразование двух пространств, которое оставляет инвариантными расстояния между точками. Пример изометрии в евклидовом пространстве из трех измерений — это вращения. Итак, следствие из Theorema Egregium в том, что у двух поверхностей существуют изометрии, только если у них одинаковая гауссова кривизна. Очень показателен следующий пример: сфера с радиусом R имеет постоянную гауссову кривизну, равную R-^2, в то время как плоскость имеет нулевую кривизну. Как следствие Theorema Egregium, лист бумаги невозможно согнуть или повернуть так, чтобы получилась часть сферы, не сминая или не надрезая его. И наоборот, поверхность сферы не может быть представлена как плоскость без искажения расстояний.

У этого факта есть важный вывод для картографии: нельзя построить карту Земли, на которой масштаб был бы одинаковым в каждой точке плоскости. Следовательно, все обычно используемые проекции изменяют масштаб в различных точках и дают некоторое искажение. Идеальной карты Земли не существует и не может существовать.

В дифференциальной геометрии четко показано, что на поверхностях, не являющихся плоскими, самая короткая линия, которая соединяет две точки, необязательно прямая, как это происходит в евклидовых пространствах. Именно поэтому пришлось ввести новое понятие (геодезическая линия), которое обозначает кратчайшую линию, соединяющую две точки поверхности. Этот принцип используется в воздушной и морской навигации для установления самых коротких маршрутов без прямых линий. Рассмотрим следующий рисунок.

На самом деле кратчайшее расстояние от аэропорта Мадрида до аэропорта Нью-Йорка — это расстояние, пройденное по кривой, нарисованной сверху от прямой, которая соединяет эти два города на карте. Очевидно, что на плоскости это не так, но на поверхности, подобной сферической (как Земля), геодезическая линия, то есть кратчайшая между двумя точками, не является прямой.

Общая теория относительности — это устоявшееся название для обозначения гравитационной теории, опубликованной Альбертом Эйнштейном в 1915 году. В соответствии с общей теорией относительности сила гравитации — это локальное проявление геометрии времени-пространства. Релятивистскую модель в обычном евклидовом пространстве построить невозможно. В теории относительности необходимо, чтобы пятый постулат Евклида о параллельных прямых не имел единственного решения. Как мы уже видели, Гаусс, Лобачевский и Бойяи доказали, что эта аксиома не зависит от предыдущих и что от нее можно отказаться, не получив противоречия. Риман разработал общую математику для неевклидового пространства в своей докторской диссертации, руководителем которой был Гаусс. Без этих математических инструментов Эйнштейн не смог бы создать свои труды. Именно его вклад сделал неевклидову геометрию популярной, открыл ее настоящую ценность. До Эйнштейна считалось, что это лишь абстрактная теория, поэтому Гаусс ничего и не опубликовал на эту тему.

В изучении поверхностей Гаусс широко использовал параметрическое представление, введенное Эйлером, осуществляя внутреннее представление поверхности как двумерное изображение. Координаты точки (х, y, z) заданы тремя уравнениями в зависимости от двух параметров: х = х(u, v); у = у(u, v); z = z(u, v). Можно сказать, что стилистически «Общие исследования о кривых поверхностях» — самая совершенная работа Гаусса. Ее аналитическое, прямое и очень лаконичное изложение позволяет представить каждую геометрическую идею в полной форме. Как признавался сам Эйнштейн, «теории относительности не существовало бы без геометрии Гаусса».