В случае общей теории относительности мысль о неевклидовом характере геометрии реального пространства была самым резким образом оспорена некоторыми философами, которые в данном случае утверждали, что уже сама схема выполнения наших экспериментов предполагает справедливость евклидовой геометрии.
Когда, например, механик пытается изготовить совершенно плоские поверхности, он может это сделать следующим образом. Он изготовляет сначала три поверхности примерно одинаковой величины, являющиеся более или менее плоскими. Затем он прикладывает каждую пару из этих плоскостей друг к другу в различных относительных положениях. Степень, в которой возможно теперь взаимное прилегание при всевозможных положениях поверхностей, ложно считать мерой точности, с которой поверхности следует рассматривать как плоские. Механик будет доволен тремя плоскостями только тогда, когда прилегание каждой пары из них друг к другу имеет место одновременно во всех точках. Когда это достигнуто, можно доказать математически, что на всех трёх поверхностях должна быть справедлива евклидова геометрия. Таким образом (так аргументировал, например, Г. Динглер), уже наши собственные действия направлены на то, чтобы выполнялась евклидова геометрия.
С точки зрения общей теории относительности здесь можно, естественно, ответить, что изложенная аргументация доказывает только справедливость евклидовой геометрии на малых расстояниях, а именно на расстояниях порядка размеров наших экспериментальных установок. Точность, с которой здесь справедлива евклидова геометрия, фактически столь велика, что описанный выше процесс изготовления плоских поверхностей может быть осуществлён всегда. Исключительно малые отклонения от евклидовой геометрии, ещё имеющие место в этой области, не будут замечены, так как поверхности изготовляются из вещества, которое не является абсолютно твёрдым, а способно претерпевать небольшие деформации, а также потому, что понятие «прилегание» не может быть определено с совершенной точностью. Для поверхностей космического порядка описанный процесс не может быть применён. Но это уже проблема не экспериментальной физики.
Снова естественным исходным пунктом физического истолкования математических схем общей теории относительности является тот факт, что геометрия на малых расстояниях оказывается приблизительно евклидовой. В этой области общая теория относительности сближается с классической теорией. Поэтому здесь существует однозначная связь между математическими символами, измерениями и понятиями обычного языка. Напротив, в достаточно больших областях физически справедливой может оказаться неевклидова геометрия. Фактически уже задолго до того, как была создана общая теория относительности, возможность неевклидовой геометрии реального пространства обсуждалась математиками, особенно Гауссом в Гёттингене. Когда Гаусс производил очень точные измерительно-геодезические работы, которые велись на базе треугольника, образованного тремя горами: Брокеном в Гарце, Инзельбергом в Тюрингии и Хохен-Хагеном близ Гёттингена, он должен был также очень тщательно проверить дополнительно, составляет ли сумма трёх углов треугольника действительно 180; он считал вполне допустимым обнаружение отклонения, которое в таком случае доказало бы отступление от евклидовой геометрии. Но на самом деле он не смог обнаружить в пределах точности своих измерений никаких отклонений.
В случае общей теории относительности язык, на котором мы формулируем общие законы, вполне соответствует научному языку математика, а для описания самих экспериментов применяют, как всегда, обычные понятия, так как на малых расстояниях евклидова геометрия справедлива с достаточной точностью.
Но самая трудная проблема в отношении применения языка возникает в квантовой теории. Здесь нет никаких простых направляющих принципов, которые бы нам позволили связать математические символы с понятиями обычного языка. Единственное, что прежде всего знают, это тот факт, что наши обычные понятия не могут быть применены к строению атома. Снова можно было бы считать естественным исходным пунктом физического истолкования формализма тот факт, что математическая схема квантовой механики для расстояний, больших по сравнению с протяжённостью атома, приближается к математической схеме классической механики. Но даже это утверждение может быть высказано с некоторыми оговорками. И для больших расстояний существует много решений квантовомеханических уравнений, для которых найти аналогичные решения в пределах классической физики невозможно. В таких квантовомеханических решениях проявляет себя обсуждённая выше интерференция вероятностей, вовсе не существующая в классической физике. Поэтому даже в предельном случае очень больших размеров связь математических символов, с одной стороны, с измерениями и обычными понятиями — с другой, нисколько не тривиальна. Чтобы достигнуть однозначности такой связи, необходимо привлечь к рассмотрению ещё вторую сторону проблемы. Необходимо обратить внимание на то, что система, которую следует рассматривать согласно методам квантовой механики, на самом деле является частью значительно большей системы, в конечном счёте — всего мира. Она находится во взаимодействии с этой большой системой, и мы должны добавить ещё, что микроскопические свойства большей системы, по крайней мере в значительной степени, неизвестны. Эта формулировка, несомненно, правильно описывает положение дел, ибо система вовсе не могла бы быть предметом измерений и теоретических исследований, если бы она вообще не принадлежала к миру явлений, если бы её не связывало никакое взаимодействие с большей системой, частью которой является наблюдатель. Взаимодействие с этой большей системой, с её в значительной степени неизвестными, микроскопическими особенностями вводит тогда в описание — а именно и в квантовомеханическое, и в классическое описание — новый статистический элемент, который должен быть принят во внимание при рассмотрении системы. В предельном случае больших размеров этот статистический элемент в такой степени уничтожает результаты интерференции вероятностей, что теперь квантовомеханическая схема действительно сближается со схемой классической физики. В этом пункте можно поэтому установить однозначную связь между математическими символами квантовой теории и понятиями обычного языка, и этого соответствия оказывается фактически достаточно также для истолкования экспериментов. То, что остаётся, — это проблемы, снова затрагивающие скорее область языка, чем область фактов, так как понятие «факт» предполагает, что феномен может быть описан на обычном языке.
Однако проблемы языка здесь приобретают значительно более серьёзный характер. Мы хотим каким-то образом говорить о строении атома, а не только о наблюдаемых явлениях, к которым, например, относятся чёрные точки на фотографической пластинке или водяные капли в камере Вильсона. Но на обычном языке мы не можем этого сделать.
Анализ может быть продолжен теперь в двух совершенно противоположных направлениях. Можно спросить, какой способ выражения относительно атомов фактически укоренился среди физиков за 30 лет со времени формулирования квантовой механики, или можно описать попытки формулировать точный научный язык, соответствующий математической схеме квантовой теории.
В качестве ответа на первый вопрос можно подчеркнуть, что понятие дополнительности, введённое Бором при истолковании квантовой теории, сделало для физиков более желательным использовать двузначный язык вместо однозначного и, следовательно, применять классические понятия несколько неточным образом, соответствующим соотношению неопределённостей, попеременно употребляя различные классические понятия. Если бы эти понятия использовались одновременно, то это привело бы к противоречиям. Поэтому, говоря о траекториях электронов, о волнах материи и плотности заряда, об энергии и импульсе и т. д., всегда следует сознавать тот факт, что эти понятия обладают только очень ограниченной областью применимости. Как только это неопределённое и бессистемное применение языка приводит к трудностям, физик должен вернуться к математической схеме и использовать её однозначную связь с экспериментальными фактами.
