Отметим также и другую важную особенность сферической геометрии. Если вырезать из сферы достаточно малую площадку, то геометрия будет имитироваться геометрией Евклида. Здесь полезно подчеркнуть, что подобный прием — вычленение из более сложной геометрии простейшей (в данном случае геометрии Евклида) с помощью выделения малой части полного пространства (здесь — сферы) — прием весьма распространенный и мы далее столкнемся с ним не раз.
После открытия одного варианта неевклидовой геометрии в последующем своем развитии геометрия как ветвь математики прошла весьма значительный путь. Были развиты многие другие неевклидовы геометрии (некоторые из них рассматриваются далее в разд. 6 и 7 этой главы). В подобной эволюции существенную роль сыграло внедрение в геометрию аналитических методов. По существу, геометрия слилась с алгеброй (точнее, с математическим анализом), оставив в своем арсенале лишь одну (хотя и важную) привилегию определенную форму мышления, в которой большую роль играют образность и наглядность.
3. ИДЕАЛИЗАЦИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ
Ранее мы упоминали о некоторой неопределенности в основных понятиях геометрии: точка, линия и т. д. Превосходной иллюстрацией такой неопределенности является геометрический принцип двойственности. Суть этого принципа заключается в том, что если поменять местами наглядные образы точки и прямой, то в аксиомах и теоремах геометрии почти ничего не изменится.
Покажем некоторые простейшие примеры проявления принципа двойственности, для чего вначале приведем стандартные положения геометрии, а затем попросим читателя сделать усилие и в соответствующих фигурах совершить взаимную замену точек и прямых.
1. Через одну точку можно провести бесконечное число прямых. Любая прямая содержит бесконечное число точек.
Второе положение эквивалентно первому в следующем смысле: нужно слово «провести» заменить на «содержит». Такая замена имеет лишь семантический характер.
2. Через точку пересечения двух прямых a и b можно провести бесконечное число прямых, расположенных между прямыми a и b.
Ясно, что и это положение сохраняет свою силу при взаимной замене точек и прямых.
3. Треугольник — это фигура, образованная тремя прямыми, проходящими через три точки, не лежащие на одной прямой.
Легко проверить, что при взаимной замене точек и прямых получается привычный треугольник.
Число иллюстраций принципа двойственности можно существенно увеличить, он пронизывает всю геометрию. Отсюда можно сделать вывод: интуитивные понятия «точки» и «прямой» в значительной степени условны. [1]
Из этого вывода следует естественный вопрос: как самая точная наука — математика (точнее, одна из ее областей геометрия) может базироваться на системе не вполне определенных понятий? Более того, при взаимной замене ее основных определений большинство выводов сохраняют свою силу.
Ответ на поставленный вопрос несложен, пока он относится к чистой математике (а речь идет именно об этом направлении).
Высшим критерием математической истины является логическая замкнутость, непротиворечивость системы аксиом и следующих из нее теорем. Чеканная логика — основной критерий истины в математике.
Соответствие данной математической конструкции эмпирическим наблюдениям или простым интуитивным представлениям является критерием менее важным, чем логическая завершенность.
Крупнейший математик Д.Гильберт посвятил значительную. часть своей жизни совершенствованию аксиоматики геометрии. Ему принадлежит известное основополагающее определение:
«Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками о обозначаем A, B, C…; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем a, b, c…»`. Для нас исключительно важно, что в этом фундаментальном определении (так же как и во всей цитируемой книге Гильберта) автор и не пытается представить наглядный образ точки или линии. Он постулирует и уточняет лишь отношение между этими объектами. Из этих отношений и следует определенная геометрическая конструкция.
Приведенная цитата лаконично подытоживает (в определенном смысле) исследования центральных понятий геометрии. Основные ее понятия — идеализированные объекты, не обязательно связанные с конкретной реальностью или интуитивными представлениями. «Точкой» может быть идеализированный объект, лишенный протяженности во всех измерениях или в части измерений (линия или плоскость). Нулевые размеры точки не мешают ей обладать внутренней структурой и т. д.
Важны лишь отношения между геометрическими объектами, которые должны быть определены очень точно и непротиворечиво. Этот критерий и ограничивает произвол в выборе основных объектов. Подобную ситуацию можно назвать сверхабстракцией или сверхидеализацией. Количественная мера подобной идеализации не обязательна.
Здесь нужно особо подчеркнуть различие в отношении к термину «идеализация» со стороны математиков и физиков.
Идеализация — прием, типичный для математики. Иногда он даже не оговаривается. Однако идеализация — редкий гость в физических концепциях. И хотя этот термин иногда встречается в физических работах, он должен обязательно сопровождаться количественным критерием этой идеализации. Должен! Однако зачастую этот критерий не приводится. И тогда читатель подвергается искушению отнести подобную работу всего лишь к интересным математическим упражнениям. Иногда подобные работы сопровождаются солидными математическими узорами, однако подобное рукоделие не всегда поддается физической расшифровке.
Кардинальное расхождение в оценке термина «идеализация» со стороны физиков и математиков вполне закономерно. Оно обусловлено разницей в высших критериях «истины» этих дисциплин. Для математики важнейший критерий — логическая завершенность, для физики же — опыт. Обычно лишь экспериментальные исследования могут подтвердить или опровергнуть правильность физических построений. Разумеется, такая категоричность вывода не исключает более простую возможность: данная теория неверна вследствие противоречия с общепризнанными физическими принципами, логических неувязок, математических ошибок и т. д. Однако для новой, пусть самой красивой и формально безупречной теории высший критерий опыт. Поэтому физики предпочитают употреблять термин «приближение».
Полезно привести пример экспериментального выбора между двумя одинаково красивыми и логически безупречными теориями, объединяющими электромагнитное и слабое взаимодействия
На рубеже 60 — 70-х годов были предложены две альтернативные теории электрослабого взаимодействия. В рамках одного варианта теории оно осуществлялось посредством двух
+заряженных тяжелых частиц (W|| — бозонов). В соответствии с другой теорией, помимо заряженных частиц — переносчиков взаимодействия, должен был существовать также и тяжелый
0 +нейтральный Z| — бозон примерно с той же массой, что W|| — бозоны. Опыт: существование нейтральных токов (конкретно обнаружение рассеяния нейтрино на электронах) и, наконец, открытие на ускорителе нового поколения всех трех типов
± 0 частиц (W||- и Z| — бозонов) подтвердили правильность второго варианта теории электрослабого взаимодействия, который называется теорией Глешоу — Вайнберга — Салама. До названных экспериментов логический анализ не мог произвести выбор между двумя вариантами теории электрослабого взаимодействия.
Различие же высших критериев в обеих точных науках влечет за собой и расхождение в требованиях точности определения основных объектов, с которыми они оперируют.
Для краткости аргументами в пользу этого тезиса целесообразно опереться на авторитеты.
