Анализ бесконечно малых, вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное математиками. Эта дисциплина зародилась в древности и развивалась очень долго. С III века до н. э., когда Архимед впервые использовал бесконечно малые величины для вычисления площади, до эпохи Ньютона и Лейбница, которые придали окончательный вид анализу бесконечно малых, прошло почти две тысячи лет. Но лишь спустя еще полтора столетия Коши и Вейерштрасс «приручили» бесконечно малые величины, найдя им адекватное логическое объяснение.

Если оставить мистические свойства бесконечности в стороне, то анализ бесконечно малых в том виде, в каком он существует сегодня, образован двумя внешне различными направлениями: дифференциальным исчислением, в основе которого лежит понятие производной, и интегральным исчислением. Их объединяет основная теорема анализа, согласно которой дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями.

Анализ бесконечно малых находит очень широкое применение ввиду того, что производные и интегралы используются во множестве областей математики, физики, техники, экономики и других наук.

К примеру, производная — это фундаментальное понятие физики, так как ему соответствуют такие понятия, как мгновенная скорость и мгновенное ускорение, а следовательно, и понятие силы. Неудивительно, что большинство физических законов выражены в виде дифференциальных уравнений, где производные используются наравне с обычными функциями. Приведем еще один из множества примеров, показывающих, насколько разными способами может применяться анализ бесконечно малых. Кому из нас, привыкших к современному медицинскому оборудованию, не делали магнитно-резонансную томографию (МРТ)? Когда волна проходит сквозь наше тело, ее поведение можно описать интегралом, значение которого равно разности интенсивности волны на входе и выходе из нашего организма. Аппарат «угадывает», что находится внутри нашего тела, на основании значений всех этих интегралов.

Современная физика родилась во времена Ньютона, который, помимо прочего, был создателем анализа бесконечно малых. Это совпадение не случайно: по словам самого Ньютона, идеи, которые окончательно оформились с открытием его метода исчисления, родились одновременно с первыми представлениями о гравитации. Первая, рудиментарная версия анализа бесконечно малых должна была помочь Ньютону на основе законов Кеплера о движении планет вывести закон гравитации, согласно которому сила притяжения тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Нечто подобное произошло, когда новая версия анализа бесконечно малых была создана усилиями Лейбница. Вскоре после того как в 1684 и 1686 году были опубликованы две его статьи, в которых излагались основы нового исчисления, оно было успешно применено для решения множества разнообразных задач механики, которые до этого не могли решить даже гениальные Леонардо да Винчи и Галилей. Речь идет о задаче о цепной линии, задаче о брахистохроне и некоторых других.

Об анализе бесконечно малых и его удивительной истории и пойдет речь в этой книге.

Анализ бесконечно малых — это область математики, которая имеет огромное значение для науки и техники. Чтобы понять, из чего состоит эта сложная и тонкая дисциплина, наверное, следует начать с рассказа о задачах, которые решаются с ее помощью. Так читатель сможет понять, насколько важен и широко распространен анализ бесконечно малых в современной науке и технике.

Эти задачи могут существенно различаться между собой. Так, к ним относятся физическая задача на определение скорости тела при известном пройденном расстоянии и обратная ей задача, в которой нужно рассчитать пройденный телом путь, зная его скорость. С помощью этого же анализа решаются задачи, в которых требуется, например, вычислить скорость автомобиля, зная силу тяги его двигателя, или определить положение гитарной струны после того, как за нее потянули.

Также существуют и геометрические задачи, в частности о расчете угла наклона касательной, длины кривой или площади криволинейной фигуры. Многие задачи, решаемые с помощью бесконечно малых, лежат на стыке физики и инженерного дела, например, задача об определении центра тяжести тела (что крайне важно при постройке кораблей), о вычислении положения кабеля, висящего между двумя столбами (эта задача решается при прокладке воздушных линий электропередачи), о расчете распределения температуры на различных участках нагреваемой металлической пластины, об определении движения жидкостей (эта задача играет большую роль в авиационной промышленности и других отраслях) и многие другие. Этот список можно продолжать практически бесконечно.

Именно бесконечно малые величины являются основным предметом изучения анализа бесконечно малых. Понятие бесконечности придает анализу бесконечно малых удивительную мощь, подчас граничащую с волшебством. Бесконечность — это основа математического анализа, но чтобы осознать, насколько велика ее роль, сначала следует уделить несколько абзацев основным понятиям исчисления.

Как уже говорилось в предисловии, анализ бесконечно малых состоит из двух внешне различных направлений: дифференциального и интегрального исчисления, каждое из которых имеет свои понятия и методы. В дифференциальном исчислении рассматриваются задачи о вычислении угла наклона касательной к кривой и расчета скорости при известном пройденном пути. К интегральному исчислению относятся задачи о вычислении площадей и объемов, а также задачи расчета пройденного пути при известной скорости. Фундаментальным понятием дифференциального и интегрального исчисления является понятие функции.

Большинство изучаемых нами процессов, будь то природные, экономические или любые другие, можно смоделировать с помощью функций, а затем проанализировать математическими методами. Иными словами, функции — это язык, который используется в науке при изучении всех этих процессов.

Функция — это правило, сопоставляющее одному числу другое. Обычно (но не всегда) это правило выражается с помощью алгебраических операций над числами.

Так, функция может сопоставлять одному числу (обозначим его t) другое число по следующему закону:

Так как число t может принимать различные значения, его называют переменной. Как правило, функции обозначаются буквами f, g, h, s или v, переменные — буквами x, у, z или t. Значение, которое функция сопоставляет произвольному числу t, записывается как f(t). Предыдущий пример будет выглядеть так:

В частности, когда мы присваиваем переменной t конкретные значения, мы определяем значения функции. Так, при t = 1 получим:

при t = 2 имеем:

В следующей таблице приведены несколько значений переменной и соответствующих им значений функции:

Простейшая физическая система — это движущееся тело. Его перемещение можно описать функцией s, которая сопоставляет каждому моменту времени t путь s(t), пройденный телом, или функцией v, которая сопоставляет каждому моменту времени t скорость v(t), с которой движется тело.