Особого упоминания заслуживает один из немногих примеров, приведенных в статье, которому Лейбниц посвятил заключительные строки. Речь идет о задаче нахождения кривой по известной касательной, предложенной де Боном: «Я с удовольствием приведу в качестве приложения решение задачи, предложенной де Боном, которую безуспешно пытался решить Декарт. Найти линию такой природы, что проекция любой из ее точек на ось и точка пересечения касательной в этой точке с указанной осью образуют отрезок постоянной длины». Чтобы найти решение с помощью своего метода и тем самым доказать его возможности, Лейбницу понадобилось всего полдюжины строк. Искомой кривой в этой задаче является логарифмическая кривая.
Также следует обратить внимание, насколько своеобразным способом Лейбниц распространял информацию о своем дифференциальном исчислении. Он опубликовал свою работу в научном журнале Acta eruditorum, в создании которого участвовал в 1682 году, ознаменовав тем самым начало новой эпохи в науке.
Приведем вывод формулы производной произведения функций, изложенный Лейбницем, так как в нем ярко отражена недостаточная логическая строгость, которой отличался Лейбниц при работе с бесконечно малыми величинами: «d(xy) — то же, что и разность между двумя смежными xy, из которых одним будет xy, другим — (x + dx) (у + dy). Следовательно, d(xy) — (x + dx) (у + dy) — xy, или xdy + ydx + dxdy, что равно xdy + ydx, если опустить величину dxdy, которая является бесконечно малой по отношению к прочим величинам, так как dx и dy предполагаются бесконечно малыми».
Как видите, четкость этого доказательства оставляет желать лучшего. В нем проявляется наиболее противоречивое свойство бесконечно малых величин: Лейбниц считает величину dxdy равной нулю, несмотря на то что ни dx, ни dy не равны нулю.
Спустя два года, в 1686 году, Лейбниц публикует в Acta eruditorum свою вторую статью, которая на этот раз посвящена интегральному исчислению. Статья носила название «О скрытой геометрии и анализе неделимых и бесконечных величин». Лейбниц начал эту статью с оправданий, объясняя, почему его первая статья была столь сложной: «Понимая, что некоторые вещи, опубликованные мной в Acta об открытиях в геометрии, не были в достаточной мере поняты некоторыми учеными людьми и, более того, использованы не совсем верно, будь то по ошибке либо по какой-либо другой причине, я посчитал, что крайне ценно добавить к этой статье все возможное, чтобы прояснить прошлые вопросы».
В этой статье впервые используется обозначение интеграла, хотя из-за сложностей при печати знак ∫, примененный Лейбницем в рукописи, был заменен на f, что было исправлено в последующих изданиях. В статье, как и в первой от 1684 года, используется буква d для обозначения дифференциала.
Во второй статье он указывает, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями, и формулирует основную теорему анализа: «Подобно степеням и корням в обычном исчислении, а также сумме и разности, J и d являются обратными». Он применяет это утверждение для доказательства теоремы, которую приписывает Барроу, для чего, как и при решении задачи де Бона, которой оканчивается первая статья, он решает дифференциальное уравнение. «Из изложенного в методе касательных очевидно, что
Следовательно, обратной является
Происхождение названия объясняется использованием латинского слова differentia — «разность». Отсюда понятие дифференциала и название «дифференциальное исчисление». Последовав совету Иоганна Бернулли, Лейбниц заменил изначальное название «суммарное исчисление» на «интегральное исчисление». Иоганн Бернулли также предлагал заменить символ ∫ буквой I — первой буквой слова «интеграл». В итоге они договорились сохранить название «интегральное исчисление», предложенное Бернулли, и символ ∫, предложенный Лейбницем. В письме, датированном 28 февраля 1695 года, Лейбниц пишет Иоганну Бернулли: «В будущем было бы лучше с целью единообразия и гармонии не только между нами, но и во всей области изучения использовать термины сумм вместо твоих интегралов. Тогда, например, ∫ydx будет означать сумму всех y, умноженных на соответствующий dx, или сумму всех этих прямоугольников. Я прошу этого главным образом потому, что в этой форме геометрические суммы, или квадратуры, лучше соответствуют арифметическим суммам и суммам рядов. Признаюсь, что открыл весь метод, рассматривая обоюдность сложения и вычитания, а затем в своих рассуждениях перейдя от последовательностей чисел к последовательностям отрезков и ординат».
Лейбниц опубликовал и другие статьи на тему анализа бесконечно малых. Профессор Норберто Куэста Дутари насчитал 27 статей, напечатанных в период с 1684 по 1708 год только в выпусках журнала Acta eruditorum. Первооткрыватели анализа различались и в этом: Лейбниц предпочитал публиковать статьи в научных журналах, чтобы быстрее познакомить общественность с полученными результатами, а Ньютон издавал их в виде книг и постоянно откладывал публикацию.
На службе у Ганноверской династии
Когда Лейбниц вернулся в Германию, он некоторое время оставался без работы, так как фон Бойнебург умер в конце 1672 года, а несколько месяцев спустя скончался сам курфюрст. Он не смог найти ничего лучше, чем должность библиотекаря на службе курфюрста Ганновера. К сожалению для него, должность требовала, чтобы он непрерывно находился в столице Нижней Саксонии, вдали от Парижа, который в те годы был центром европейской науки, культуры и философии.
Ганноверский герцог Брауншвейг-Люнебургский стал его покровителем до конца жизни, однако жизнь в доме герцога не всегда была ему по нраву. В 1678 году он стал личным советником герцога, а в 1685 году занялся изучением истории его семейства. Однако его обязанности на этом не заканчивались. С Лейбницем советовались по вопросам образования; также он занимался инженерным делом и геологией в шахтах, расположенных в горах Гарца, где спроектировал систему дренажа шахт с помощью ветряных мельниц. Затея с мельницами завершилась неудачей и ударила по карману Лейбница, так как ему пришлось оплатить расходы из своего жалования. Часть средств, которые планировалось получить от системы дренажа, должна была пойти на создание академии и развитие characteristica universalis, но этот проект так никогда не был осуществлен. Лейбниц также занимался созданием гидравлических прессов, часов и других устройств. Не будем забывать и о спроектированной им вычислительной машине.
Возможно, наибольших успехов на службе у герцога Брауншвейгского он добился как историк. Лейбниц без устали исследовал старые рукописи из баварских монастырей и итальянских палаццо, эпитафии на заброшенных могилах неизвестных кладбищ кармелитов и в итоге установил родство семьи герцога и древнего княжеского рода Эсте из Модены. Благодаря этим исследованиям герцог Брауншвейгский впоследствии добился того, что его княжество стало новым, девятым курфюршеством Германии, и герцог получил право голоса при избрании императора.
Лейбниц как историк достиг удивительных высот, так как описал не только историю рода герцога, но и попытался составить всеобщую историю Земли, охватывавшую также геологию и археологию, а также провести исследование миграции народов на основе различий и аналогий между языками. Подобно другим грандиозным проектам, этот труд по всеобщей истории так никогда и не был создан, и все идеи ученого растворились в море рукописей и писем.
И снова обратим внимание, сколь велики различия между Ньютоном и Лейбницем даже в том, в каких условиях им приходилось работать. Ньютон в одиночестве изучал труды о жизни библейских царей, стремясь глубже понять творение Бога Отца. Жил он сначала в Кембридже, подобно монаху, затем в Лондоне, наслаждаясь высоким положением и властью. Лейбниц же, напротив, посетил множество архивов и библиотек, в течение трех лет путешествовал по югу Германии, Австрии и Италии, не считая коротких поездок в Берлин, Ганновер, Вольфенбюттель и Вену, разыскивая предков своего покровителя. При этом герцог весьма щепетильно следил за его работой, и если замечал, что его генеалогическое дерево не растет, как бы того ему хотелось, то объяснял это недостатком усердия своего подчиненного.
