В эпоху, в которую были сделаны эти открытия, Декарт заменил мистические свойства, приписанные перипатетиками²² природе, понятными идеями движения, импульса и центробежной силы. Его остроумная система вихрей, основанная на этих идеях, была с жадностью принята учёными, отвергавшими тёмные и не имевшие смысла доктрины этой школы; но учёные думали, что во всемирном тяготении возрождаются те мистические свойства, которые были столь справедливо изгнаны французским философом. Только после того, как была распознана неопределённость картезианских объяснений, тяготение было понято и принято в том виде, как его представил Ньютон, т.е. как общий. факт, к которому он пришёл путём ряда индукций и от которого затем исходил, чтобы объяснить небесные движения. Этот великий человек, несомненно, заслужил бы упрёк в восстановлении мистических свойств, если бы он ограничился приложением всемирного тяготения к эллиптическому движению планет и комет, к неравенствам движения Луны, неравенствам земных градусов и силы тяжести, к прецессии равноденствий и морским приливам и отливам, не показав связи своего принципа с этими явлениями. Но геометры, уточняя и обобщая его доказательства и найдя самое полное согласие между наблюдениями и результатами анализа, единодушно приняли его теорию системы мира, с помощью их изысканий ставшую основанием всей астрономии. Эта аналитическая связь отдельных частных фактов с общим фактом и составляет сущность теории. Именно выведя путём точного расчёта все явления капиллярности из единственного принципа взаимного притяжения между молекулами материи, которое делается ощутимым только на неуловимых расстояниях, мы можем льстить себя тем, что нашли истинную теорию этого явления. Некоторые учёные, поражённые преимуществами, которые даются предположением о действующем начале, причины которого неизвестны, снова ввели в отдельные отрасли естественных наук таинственные силы и не имеющие смысла объяснения древних философов. Рассматривая философию Ньютона с той же точки зрения, с которой она была отброшена картезианцами, они навязывали ей свои доктрины, которые, однако, с ней не имеют ничего общего в самом главном, а именно, в строгом согласии её результатов с явлениями.

Ньютон изложил свою теорию системы мира по методу синтеза. Однако представляется, что большинство своих теорем он нашёл путём анализа, границы которого он расширил и которому, как он сам подтверждает, он обязан своими основными результатами в исследовании квадратур. Но предпочтение, отдаваемое им синтезу, и высокая оценка Ньютоном геометрии древних заставили его перевести в синтетическую форму свои теоремы и даже свой метод флюксий. И в правилах, и в примерах, которые он дал, мы видим, какое большое значение он этому придавал. Вместе с геометрами его времени можно пожалеть, что он не следовал в изложении своих открытий тому пути, по которому он к ним пришёл, и исключил доказательства некоторых выводов, предпочитая удовольствие заставлять своих читателей отгадывать эти доказательства удовольствию их просвещать. Знание метода, которым руководствовался такой гениальный человек, не менее полезно для прогресса науки и даже для его собственной славы, чем его открытия. Этот метод часто составляет их наиболее интересную часть, и если бы Ньютон, вместо простого написания дифференциального уравнения твёрдого тела наименьшего сопротивления, одновременно представил весь ход своего анализа, он имел бы преимущество дать первое изложение метода вариаций, являющегося одной из самых плодотворных ветвей современного анализа.

Предпочтение, которое этот великий геометр отдавал синтезу, и его пример, возможно, помешали его соотечественникам внести столько, сколько они могли бы, в то развитие астрономии, которое она получила в результате применения математического анализа к принципу всемирного тяготения. Это предпочтение объясняется тем изяществом, с которым он сумел связать свою теорию криволинейных движений с изысканиями древних по коническим сечениям и с прекрасными открытиями, опубликованными Гюйгенсом, следовавшим этому методу. Геометрический синтез имеет свойство никогда не терять из вида свой объект и освещать весь путь, ведущий от первых аксиом к их последним следствиям, в то время как алгебраический анализ скоро заставляет забыть главный предмет [исследований], чтобы заниматься алгебраическими абстрактными операциями, и только в самом конце вновь возвращает нас к этой цели. Но отвлекаясь таким образом от предметов, взяв от них всё необходимое, чтобы прийти к искомому результату, мы отдаёмся затем аналитическим операциям, собираем все свои силы, чтобы преодолеть возникающие трудности, и приходим, благодаря общности этого метода и неоценимому преимуществу превращать рассуждения в механически выполняемые действия, к результатам, которые часто оказываются недоступными для синтеза. Плодотворность анализа такова, что достаточно перевести на этот универсальный язык частные истины, чтобы получить из их выражений множество новых и неожиданных истин. Никакой язык в такой степени не обладает изяществом, рождённым в результате развития длинного ряда связанных между собой выражений, которые исходят из одной и той же фундаментальной идеи. К преимуществам анализа следует ещё отнести возможность всегда приводить решение задачи к самым простым методам. Для этого необходимо только применять его соответствующим образом, удачно подбирая неизвестные и давая окончательному результату вид, наиболее удобный для геометрического построения или численного выражения. Сам Ньютон даёт много таких примеров в своей «Универсальной арифметике», а современные геометры, убедившись в этом преимуществе анализа, специально занялись расширением области его применения.²³

Тем не менее геометрические представления не следует отбрасывать. Они очень полезны в науках. К тому же любопытно представить себе в пространстве различные результаты анализа и, наоборот, все видоизменения линий и поверхностей и изменения движений тел читать в уравнениях, которые их выражают. Это сближение геометрии и анализа проливает новый свет на эти два направления науки; абстрактные операции анализа делаются наглядными благодаря геометрическим изображениям, их становится легче охватить и интереснее им следовать; и когда наблюдения воплощаются в эти изображения и преобразуют геометрические результаты в законы природы, и когда эти законы, охватывая вселенную, раскрывают перед нашим взором её прошлые и будущие состояния, вид этого величественного зрелища заставляет нас испытывать самое благородное удовольствие, доступное человеку.

Около 50 лет прошло после открытия притяжения, и к этому открытию не было прибавлено ничего замечательного. Всё это время понадобилось для того, чтобы великая истина была широко понята и преодолела противодействие, оказанное принятым на континенте мнением, что тяготение, по примеру Декарта, следует объяснять механически, чтобы истина преодолела различные системы, придуманные по этому поводу, и авторитет нескольких великих геометров, боровшихся с нею, может быть, из самолюбия, но тем не менее ускоривших её победу своими работами по анализу бесконечно малых. Среди современников Ньютона Гюйгенс сделал больше всех других, чтобы достоинства этого открытия были оценены. Он принял утверждение, что притяжение друг к другу больших небесных тел обратно пропорционально квадратам расстояний, а также все выводы, сделанные из этого Ньютоном относительно эллиптического движения планет, спутников и комет, и силы тяжести на поверхности планет, сопровождаемых спутниками. Он воздал Ньютону в этом отношении всё по его заслугам. Но ошибочные идеи о причине силы тяжести заставили его отбросить взаимное притяжение молекул, теории фигуры планет и зависящие от этой фигуры изменения силы тяжести на их поверхности. Однако надо заметить, что закон всемирного тяготения для современников Ньютона, да и для него самого ещё не имел той несомненности, которую ему придали успехи математических наук и наблюдений. Эйлер и Клеро, подобно Даламберу, применившие математический анализ к возмущениям небесных движений, первые не считали его достаточно установленным, чтобы различия, найденные ими в наблюдениях и своих расчётах, относившихся к движению Сатурна и лунного перигея, приписать неточностям приближений или вычислений. Но эти три великих геометра и их последователи, проверив расчёты, улучшив методы и продвинув приближения настолько, насколько это было необходимо, посредством одного только закона тяготения пришли наконец к объяснению всех явлений системы мира и довели теорию и астрономические таблицы до точности, превзошедшей ожидаемую. Не прошло ещё и трёх веков, как Коперник ввёл в эти таблицы движение Земли и других планет вокруг Солнца. Около века спустя Кеплер ввёл в них законы эллиптического движения, зависящие только от солнечного притяжения. Теперь они включают множество неравенств, рождённых из взаимного притяжения тел планетной системы; весь эмпиризм из них изгнан, а из наблюдений в них использованы только необходимые величины.