Здесь и всюду далее нам будут встречаться два разных типа арифметических операций сложения и вычитания: в кольце Z/N и в поле GF(N+1). Операции в кольце Z/N будем обозначать обычными символами “+” и “-“, а операции в поле GF(N+1) – o и ㊀ соответственно.

Теорема 1.

Пусть П – логарифмическая подстановка, х₁х₂, х₁,х₂ ЄZ/N, i – произвольный ненулевой элемент кольца Z/N.

Тогда если ни одна из точек х₁+i,x₁,х₂+i,x₂ не является выколотой, то П(х₁+i)- П(x₁) П(х₂+i)- П(x₂).

Доказательство.

Предположим, что П(х₁+i)- П(x₁)= П(х₂+i)- П(x₂), тогда Ф^{П(х1+i)- П(x1)}=Ф^{П(х2+i)- П(x2)}.

Поскольку все точки не являются выколотыми, то отсюда вытекает, что (Ф^х1+i+roр)(Ф^х2+roр)=(Ф^х2+i+roр)(Ф^х1+roр).

Раскрывая скобки и сокращая одинаковые члены в левой и правой частях равенства, получаем

р (Ф^x1+i+roФ^x2+r)= р(Ф^x2+i+roФ^x1+r)

Поскольку р – ненулевой элемент, то отсюда вытекает, что

Ф^x1+r(Фⁱ㊀ 1)= Ф^x2+r(Фⁱ㊀ 1)

Поскольку i – произвольный ненулевой элемент Z/N, а Ф – примитивный элемент GF(N+1), то Фⁱ1, откуда вытекает, что х₁=х₂.■

Теорема 2. Пусть П – логарифмическая подстановка.

Тогда для любого ненулевого значения iЄZ/N\{0} из условия, что ни одна из точек x, x+i не является выколотой вытекает, что П(х+i)- П(x)  i.

Доказательство.

Пусть П(х+i)- П(x) = i. Тогда Ф^{П(х+i)- П(x)}= Фⁱ, откуда Ф^x+r+ioр=Фⁱ(Ф^x+roр), следовательно, р=рФⁱ. Отсюда следует, что i=0. ■

Раскинулось поле широко! Операции возведения в степень и логарифмирования в конечном поле позволили ловко избавиться от неопределенности в разности значений подстановки и легко, просто элементарно решить задачу построения матрицы P(П) с минимальным числом нулей. Заметим, что если в определении логарифмических подстановок отказаться от условия, что р – произвольный ненулевой элемент поля GF(N+1), то при р=0 мы получаем обычные линейные подстановки, у которых число нулей в P(П) максимально!

Осталось совсем чуть-чуть: разобраться с выколотой точкой.

Для произвольного ненулевого фиксированного iЄZ/N рассмотрим отображение множества Z/N в Z/N вида:

M_i(х) = П(х+i)- П(х),

где П – логарифмическая подстановка. Тогда, в силу теоремы 1, количество различных значений в множестве {M_i(х), xЄZ/N\{x,x-i}}равно мощности этого множества, т.е.N-2, причем, в силу теоремы 2, это множество в точности совпадает с {Z/N\{i}}. В частности, при любом iN/2 существует такое значение х, xЄZ/N\{x,x-i}, что M_i(х)=N/2.

Теорема 3. Пусть П – логарифмическая подстановка.

Тогда если при некотором iN/2 в i-ой строке матрицы P(П) справедливо p_iN/2>1, то эта строка не содержит нулевых элементов.

Доказательство.

В силу теоремы 2 достаточно доказать, что p_ii0. Условие p_iN/2>1означает, что либо M_i(х)=N/2, либо M_i(х-i)=N/2. Зафиксируем то, которое равно N/2, а другое оставшееся значение обозначим через M. Суммируя, как и ранее мы уже делали в этой книге, значения M_i(х) по всем xЄZ/N, получаем:

N/2(N-1) – i + M + N/2 = 0.

Отсюда вытекает, что M=i, следовательно, p_ii0. ■

По коням! Пора заняться средней строчкой.

Начнем с самого любимого элемента – p_N/2,N/2. Ранее мы уже отмечали, что этот элемент должен быть всегда четным (рассуждения для случая N=2ⁿ легко обобщаются для произвольного четного N). Следовательно, в логарифмической подстановке возможны только два значения p_N/2,N/2: 0 или 2. Допустим, что p_N/2,N/2=2. В силу теоремы 2 эти значения может давать только выколотая точка x₀ и x+N/2, т.е.

П(х+N/2)- П(х)= П(х+N/2+N/2)- П(х+N/2)= П(х)- П(х+N/2)=N/2.

Отсюда вытекает, что 2П(х+N/2)=2П(х).

Рассмотрим два случая.

1. р=1, следовательно, П(х)=0. Тогда П(х+N/2)=N/2. Имеем:

Ф^П(х0+N/2)= Ф^N/2 Ф^x0+N/2+roр=Ф^N/2  Ф^N/2(1㊀ Ф^x0+r)= р  Ф^N/2(1oр)= р 2Ф^N/2 = 1.

Возводя обе части последнего равенства в квадрат и учитывая, что Ф^N=1, получаем такое равенство возможно только в тривиальном поле из 3 элементов.

2. р1, следовательно, П(х) =N/2, П(х+N/2)=0, откуда

Ф^П(х0+N/2)= 1 Ф^x0+N/2+roр=1  р(1㊀ Ф^N/2)= 1  Ф^N/2= 1㊀ р^-1.

Возводя это равенство в квадрат, получаем значение р:

р=2^-1

С учетом условия П(х) =N/2 получаем: log_Ф2^-1 = N/2, откуда 2^-1 =Ф^N/22^-2 =1. Такое также возможно только в тривиальном поле из 3 элементов.

Следовательно, во всех реальных практически значимых случаях p_N/2,N/2=0. Тогда найдется по крайней мере одна строка i, в которой p_N/2,i2, и по теореме 3 в ней не будет нулей. Общее число нулей в такой матрице, с учетом уже упоминавшейся ее симметричности, будет равно N-3. Это минимально возможное количество нулей и оно оказалось достижимым!

Заметим, что подстановка, обратная к логарифмической, также будет логарифмической. Действительно, если П(х) = log_Ф(Ф^x+roр), то Ф^{П (х)}= Ф^x+roр, откуда

х= log_Ф(Ф^{П (х)-r}oр₁), где р₁ = (㊀ р)Ф^-r. Следовательно, П^-1П(х) = log_Ф(Ф^{П (х)-r}oр₁). При этом Ф^{П (х)-r}oр₁=(Ф^x+roр)Ф^-roр₁=Ф^x  0. Для случая х=х справедливо: П(х)= log_Фр, при этом Ф^x0=(㊀ р)Ф^-r, откуда х = П^-1П(х) = log_Ф((㊀ р)Ф^-r) = log_Фр₁

Осталось построить в явном виде логарифмическую подстановку. Заметим, что условие N+1 – простое число выполняется для практически очень важного случая N=256, следовательно, логарифмические подстановки заведомо существуют при N=256. Условию N+1 – простое число удовлетворяет также N=16 и именно для этого значения мы сейчас и построим логарифмические подстановки, предоставляя заинтересованному читателю возможность построить логарифмические подстановки при N=256 самостоятельно.

В качестве примитивного элемента поля GF(17) выберем Ф=3, а также положим р=1, r=0. Составим таблицу степеней значения Ф:

Используя эту таблицу, построим логарифмическую подстановку П

и ее матрицу Р(П)

Это подстановка с минимально возможным числом нулей в матрице Р(П).

Это был, пожалуй, мой самый красивый математический результат. Но, к большому сожалению, логарифмические подстановки так и не нашли достойного применения в криптографии. Почему? Да очень просто – их мало. Помните фразу про долговременные ключи-подстановки в дисковых шифраторах: «Их не опробуют. Их покупают.» Если в схемы типа «Ангстрем-3» мы будем ставить только логарифмические подстановки, то опробование всевозможных вариантов подобных подстановок сведется к опробованию всего лишь трех элементов: Ф – примитивного элемента в поле Галуа GF(257), р – произвольного ненулевого элемента поля GF(257) и r – произвольного элемента из Z/256. Это – копейки, совершенно ничтожная, по криптографическим меркам, величина. Если же выбирать подстановку случайно и равновероятно из всей симметрической группы S₂₅₆, то общее число опробуемых вариантов будет совершенно астрономической величиной 256!, намного превосходящей психологически недосягаемую в криптографии величину 10¹⁰⁰.