3. У нас встарину употреблялся сходный с древнеегипетским (см. предыдущую задачу) прием вычисления площади круга, рекомендуемый старинными русскими руководствами по землемерному делу площадь круга приравнивалась площади квадрата со сторонами равными
![Квадратура круга - _29_str20_1.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_29_str20_1.png)
4. Валлис нашел (1656 г.) для вычисления π следующий ряд
![Квадратура круга - _30_str20_2.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_30_str20_2.png)
и т. д.
Лейбниц вывел (1674) такое равенство:
![Квадратура круга - _31_str20_3.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_31_str20_3.png)
Почему этими равенствами нельзя воспользоваться для точной квадратуры круга?
5. Индусский математик Брамагупта (VII век) предложил для π следующее приближенное выражение:
![Квадратура круга - _32_str20_4.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_32_str20_4.png)
Как помощью этого выражения приближенно решить задачу о квадратуре круга?
6. Проверьте следующее приближенное равенство:
![Квадратура круга - _33_str20_5.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_33_str20_5.png)
Как воспользоваться этим соотношением для приближенной квадратуры круга?
7. Проверьте приближенное равенство
![Квадратура круга - _34_str21_1.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_34_str21_1.png)
Как воспользоваться им для приближенной квадратуры круга?
8. Проверьте следующее соотношение: периметр прямоугольного треугольника с катетами в
![Квадратура круга - _35_str21_2.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_35_str21_2.png)
![Квадратура круга - _36_str21_3.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_36_str21_3.png)
Как помощью этого соотношения приближенно решить задачу о квадратуре круга?
9. Голландский инженер Петр Меций нашел (в 1585 г.) для π легко запоминаемое выражение
![Квадратура круга - _37_str21_4.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_37_str21_4.png)
10. Придумайте самостоятельно какое-нибудь правило, практически удобное для быстрого приближенного вычисления площади круга.
![Квадратура круга - _38_str21_5.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_38_str21_5.png)
Ответы и указания
1. Если радиус круга R, то площадь его πR2, а длина окружности 2πR, Квадрат, площадь которого старинное правило принимает равной площади круга, имеет сторону длиною
![Квадратура круга - _40_str22_1.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_40_str22_1.png)
![Квадратура круга - _41_str22_2.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_41_str22_2.png)
Отношение
![Квадратура круга - _42_str22_3.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_42_str22_3.png)
показывает, что старинное правило дает преуменьшение почти на 22 %.
2. Из отношения
![Квадратура круга - _43_str22_4.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_43_str22_4.png)
легко установить, что изложенное в задаче правило дает преувеличение примерно на 0,6 %.
3. Правило дает преуменьшение примерно на 2½%.
4. Оба выражения не решают задачи о квадратуре круга, потому что они не могут быть найдены помощью конечного числа математических операций.
5. Построив (рис. 6) прямоугольный треугольник с катетами в 1 и 3 единицы длины, получаем гипотенузу длиною в
![Квадратура круга - _44_str23_1.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_44_str23_1.png)
![Квадратура круга - _45_str23_2.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_45_str23_2.png)
![Квадратура круга - _46_str23_3.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_46_str23_3.png)
![Квадратура круга - _47_str23_4_ris6.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_47_str23_4_ris6.png)
Построенный прямоугольник легко превратить в равновеликий квадрат. (См. рис. 3 и относящийся к нему текст).
6. Сумма
![Квадратура круга - _48_str23_5.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_48_str23_5.png)
![Квадратура круга - _49_str23_6.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_49_str23_6.png)
![Квадратура круга - _50_str23_7.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_50_str23_7.png)
7. Сумма
![Квадратура круга - _51_str24_1.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_51_str24_1.png)
![Квадратура круга - _52_str24_2.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_52_str24_2.png)
![Квадратура круга - _53_str24_3.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_53_str24_3.png)
![Квадратура круга - _54_str24_4_ris7.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_54_str24_4_ris7.png)
8. Так как выражение
![Квадратура круга - _55_str24_5.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_55_str24_5.png)
равно
![Квадратура круга - _52_str24_2.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_52_str24_2.png)
9. Семь верных цифр.
10. Подобных правил можно предложить много. Вот одно из возможных: площадь круга приближенно равна ¾ площади описанного квадрата плюс половина десятой доли этой величины. Легко видеть, что здесь π принимается равным 3,15 — приближение достаточное для многих практических целей.
Что читать
![Квадратура круга - _57_chtochitat.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_57_chtochitat.png)
Исторические сведения, относящиеся к задаче о квадратуре круга, изложены в книгах:
Цейтен, Г. — История математики в древности и в средние века. ГТТИ. 1932. 230 стр.
Кэджори, Ф. — История элементарной математики. «Mathesis». 1917. 478 стр.
Чвалина, А. — Архимед. ГТТИ. 1934. 40 стр.
Полезные сведения дают брошюры:
Бончковский, Р. — Площади и фигуры, Акад. Наук СССР. 1937. 136 стр.
Лебедев, В. — Очерки по истории точных наук. Вып. IV. Знаменитые геометрические задачи древности. 1920. 71 стр.
Самым полным сочинением на эту тему является книга:
О квадратуре круга. ОНТИ. 1936. 236 стр. Классические сочинения Архимеда, Гюйгенса, Ламберта и Лежандра, которым предпослан очерк по истории вопроса Ф. Рудио.
![Квадратура круга - _58_cover1.png](https://all-library.ru/pic/2/6/7/8/8/3/267883/1445325860/_58_cover1.png)
Информация об издании
Ответственный редактор В. А. КАМСКИЙ.