Вернемся еще раз в страну плоскотелых, где все предметы обладают только двумя измерениями. Теоретически мы можем представить себе подобные предметы, но в окружающей нас жизни они не существуют.

— Простите, профессор, — перебил я его, — мне кажется, я могу указать вам на пример двухмерного предмета. Как- то я слышал радиолекцию одного знаменитого научного популяризатора, который сравнил двухмерный предмет с тенью. Ведь очевидно, что тень, имея длину и ширину, не имеет толщины.

— Это прекрасная иллюстрация, — сказал профессор Баннинг, — только нашему научному лектору следовало бы вместо слова «тень» употребить выражение «проекция тени». Под словом «тень» надо понимать все пространство, куда свет не допускается затеняющим предметом; поэтому тень, хотя и не может быть ощупана, но несомненно имеет три измерения. Я рад, что вы привели мне эту аналогию, потому что она великолепно помогает осветить затронутый мною вопрос.

Рассмотрим тень, падающую от круглой серебряной монеты. Предположим, что лучи света параллельны друг другу и перпендикулярны к плоскости монеты и к совершенно плоской стене, на которой проектируется тень. Последняя изобразится на стене в виде темного кружка, имеющего только два измерения, но сама тень будет цилиндром, одним основанием которому служит монета, другим же — проекция тени на стене, а высота цилиндра будет равна расстоянию от монеты до стены.

Если вы поместите кусок плоского картона параллельно монете в любом месте между нею и стеной, на картон упадет двухмерная проекция. Это доказывает, что трехмерная цилиндрическая тень в действительности состоит из бесконечного числа кругообразных проекций, из которых ни одна не имеет поддающейся измерению толщины.

Но едва ли можно рассматривать тень, как существующий сам по себе материальный объект, хотя Питер Пэн будто бы и потерял свою тень. Есть еще и немецкое сказание о другом Петре — о Петре Шлемиле, который продал свою тень дьяволу. В этой прелестной сказке Адальберта Шамиссо его сатанинское величество скатывает тень в трубку, как кусок обоев, и уносит ее под мышкой. Нечего и говорить, что все это чистейшие фантазии.

Чтобы наше «плоскотелое» действительно могло существовать, оно должно состоять из молекул вещества, а это уже само по себе выдвигает необходимость хоть какой-нибудь толщины, — пусть даже в одну миллионную долю толщины самого тонкого листка золота — то есть, тончайшего из известных нам и поддающихся осязанию предметов. По сравнению с длиной и шириной нашего предмета такая ничтожная толщина практически равнялась бы нулю. Однако, мы можем представить себе, что, накладывая друг на друга эти предметы в очень большом числе, мы достигнем некоторой толщины, которую можно будет измерить — подобно тому, как мы представляем себе трехмерную тень состоящей из бесконечного числа двухмерных предметов.

Далее, допустим, что три плоскотелых существа оказались достаточно умственно развитыми, чтобы думать в пространстве трех измерений и представлять себе возможность движения в трехмерном пространстве. «Дуодим» № 1, будучи математиком, рисует чертеж какого-нибудь трехмерного предмета, хотя бы цилиндра, наподобие того, как художник на совершенно плоском листе бумаги создает картину пространственных предметов.

Предположим также, что дуодим № 2, опытный механик, на основании этого чертежа вырезывает очень большое число кружков из какого-нибудь материала — разумеется, чрезвычайно тонкого — и накладывает круги один на другой, пока у него не получится цилиндр. От этого уже только один шаг, чтобы изготовить два прута, скрепить их посредине в виде щипцов и придать им надлежащий изгиб с тем, чтобы дуодим № 3, который умеет превосходно манипулировать инструментами, получил возможность перемещать различные неподалеку расположенные предметы в той же плоскости. Быть может, схематический чертеж сделает мою мысль более ясной.

И профессор, взяв карандаш и бумагу с кухонного стола, служившего мне для письменных занятий, быстро набросал рисунок.

— Простите меня, — вставил я. — Но я боюсь, что в вашей теории есть серьезный недочет. Для того, чтобы ухватить какой-нибудь предмет таким приспособлением, ваше плоскотелое должно само двигаться в трехмерном пространстве, а согласно нашей предпосылке, это невозможно.

— Совершенно правильно, — согласился профессор. — Мой эскиз вовсе и не претендовал на достоинство точного и практически осуществимого чертежа, а должен был только служить иллюстрацией моей идеи. Однако, при ваших познаниях в механике разве вам трудно было бы сконструировать такую систему, посредством которой движение в известной плоскости могло бы быть преобразовано в движение под прямым углом к этой плоскости? Согласитесь, что это вполне осуществимо.

Я должен был признать его правоту.

— Отлично. Пока нам нужно только сконструировать аналогичное приспособление, которое имело бы протяжение в пространстве четырех измерений, и тогда доктор Мейер сможет удалить из моей печени камни без всякого потрясения для моего организма.

— Но откуда я узнаю, какова должна быть внешняя форма четырехмерных клещей или щипцов?

— Предоставьте это мне. Как «плоскотелый» математик мог бы начертить на плоской бумаге свой рисунок трехмерного предмета, так и я, пользуясь трехмерными проекциями, могу сконструировать модели, которые наглядно покажут вам внешний вид и все характеристики четырехмерного предмета. Это только кажется таким сложным, а на деле гораздо проще. Дайте мне десятилетнего, нормального в умственном отношении ребенка, и я посредством небольших пояснений и некоторых наводящих вопросов заставлю его указать все признаки четырехмерного куба. Сейчас я поясню, в чем дело.

Он снова взял карандаш и разграфил бумагу.

— Проследите за следующим построением. Вы передвигаете точку на некоторую единицу длины, скажем, на один сантиметр. Получилась линия или ребро в один сантиметр длиной. Затем вы движете эту линию на один сантиметр под прямым углом к ней — и получаете квадрат, площадь которого равна одному квадратному сантиметру. Далее вам нужно передвинуть квадрат на один сантиметр по направлению, перпендикулярному к его ширине и длине, и у вас образуется куб в один сантиметр длины, в один сантиметр ширины и в один сантиметр высоты. Теперь остается только передвинуть куб на расстояние одного сантиметра в направлении которое было бы перпендикулярно к его длине, ширине и высоте и не было бы параллельно ни одному из его трех измерений, — и у вас готов сверхкуб, выраженный в единице метрической системы.

Посмотрим же внимательнее, каковы характеристики этого сверхкуба. Прежде всего, мы знаем, что у куба, с которого мы начали, сколько вершин?

— Восемь.

Он записал эту цифру в разграфленную таблицу.

— А ребер?

— Двенадцать.

Он записал и это.

— Сколько граней?

— Шесть.

— Теперь, если мы будем двигать куб, то новые вершины образовываться не будут, но по окончании операции у нас будет второй куб с восемью углами, следовательно, в итоге сколько углов будет в нашей фигуре?

— Шестнадцать.

— Правильно. А каждая вершина при движении в пространство образует что?

— Прямые линии.

— А сколько было вершин в кубе при начальном его положении?

— Восемь.

— Следовательно, при движении должны возникнуть восемь линий или ребер. Если мы добавим двенадцать ребер в образующем кубе и двенадцать, принадлежащих кубу в его конечном положении, сколько у нас будет всего?

— Тридцать два ребра.

— Перейдем к граням. При начальном положении куба у нас было шесть граней, при конечном его положении еще шесть. Могут получиться у нас еще какие-нибудь?

— Обязательно. Каждое ребро при движении должно образовать квадрат; ребер было двенадцать, следовательно, при движении должно возникнуть двенадцать новых квадратов. Шесть да шесть, да двенадцать — всего должно быть 24 грани.