КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Рис.19

Что касается трансцендентных чисел, то они не входят и в эту группу, то есть не могут быть обозначены на этой плоскости. Точки комплексной плоскости называют алгебраическими числами, так как они могут быть решениями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, а трансцендентные числа -нет. Их называют трансцендентными именно по этой, сугубо технической причине, и вполне возможно, что тот математик, который ввел это название, не до конца осознавал, что именно оно означает. Не исключено, что эти числа трансцендентны и в ином смысле.

Вот некоторые причудливые свойства трансцендентых чисел. Самыми известными и чрезвычайно важными из них являются пи и е (я надеялся, что смогу наглядно объяснить и второе число, но мне это не удалось). Некто сказал, что вселенная вообще не смогла бы существовать без пи и е; в более традиционном смысле можно утверждать, что в отсутствие пи и е нам никогда не удалось бы постичь вселенную и управлять ею. Видите, насколько важны числа? Впрочем, я не буду отклоняться от темы. Времени осталось мало, так что опустим этот вопрос.

В числе пи действительно есть нечто загадочное. Предположим, у вас есть поверхность с рядом параллельных прямых и расстояния между соседними линиями одинаковы. Возьмем несколько булавок или иголок – любые предметы подобной формы, -длина которых в точности равна расстоянию между прямыми. Бросим их на эту поверхность пятьсот, тысячу раз и подсчитаем количество булавок, которые не пересекли ни одной прямой, и число булавок, пересекших хотя бы одну линию. Будем вносить эти суммы в два столбца и вычислять отношение соседних пар чисел. Мы обнаружим, что оно приближается к числу пи/4. Откуда возникло число пи? Оно входит в формулу, эмпирическую формулу, связанную с вопросами вероятности. Какое отношение может иметь число пи, например, к задаче определения того, какой процент населения доживает до семидесяти лет? Связь существует. Число пи входит и в эту формулу. Тот факт, что это число входит в уравнения теории вероятности, позволяет уверенно предположить, что упорядоченность присуща самым случайным событиям, и даже те явления, которые выглядят совершенно непредсказуемыми, подчиняются какой-то закономерности. Эти загадки вызывают трепет. Для того чтобы понять их, нужно быть хоть немного математиком, и тогда они действительно вызовут холодок в спине. Если вы просто бросаете булавки на поверхность, никакого трепета не возникнет. Однако это и в самом деле совершенно загадочные законы.

Число пи можно получить множеством других способов. Оно определяет суммы некоторых бесконечных рядов, а также непрерывных последовательностей умножений или делений. Один из таких рядов указал Лейбниц:

π/4= 1-1/3+ 1/5-1/7 +…+ 1/(2n-1) +…

В нем плюсы и минусы перемежаются, а знаменатели дробей представляют собой последовательность нечетных целых чисел. Если вы хотите определить значение числа пи, достаточно складывать члены этого ряда до тех пор, пока не надоест. Следует заметить, что вам придется провести очень много сложений, прежде чем удастся получить точное значение двенадцатого знака после запятой. Этот ряд – не самый удачный метод вычислений, поскольку он, как говорят математики, сходится очень медленно. Есть другие, быстросходящиеся ряды, но и они тоже остаются просто бесконечными суммами и не имеют никакого сходства с закономерностью, связывающей длину окружности и ее диаметр.

Вы можете подумать, что в настоящее время мы не знаем – и не найдем в обозримом будущем -других трансцендентных чисел, кроме этих двух, что эти числа очень редкие. Однако математики уже разработали несколько бесконечных классов трансцендентных чисел, и существуют доказательства того, что их число во многом превосходит количество всех остальных чисел вместе взятых. Дело в том, что в отличие от прочих чисел, которые (теоретически) за достаточно долгое время можно пересчитать, счесть все трансцендентные числа просто невозможно. Трансцендентные величины образуют множество} i – уровень бесконечности [14], превосходящий по мощности все остальные числа, которые входят в множество}о.

Некоторые математики утверждают, что рассмотренная числовая плоскость (рис. 19) является в действительности не сплошной, а пористой, и такие «дырочки» соответствуют трансцендентным числам. Множество алгебраических чисел, всех тех, что я вам показал, является счетным. Это означает, что целых чисел вполне достаточно (внимание, перед вами настоящая тайна!) для того, чтобы сосчитать не только все целые числа, но также все дроби, иррациональные, мнимые и комплексные числа. Вот куда заводит математическая логика. Это свойство бесконечного многообразия: вы можете исключить из него бесконечное число бесконечных многообразий и при этом исходное многообразие ничуть не уменьшится [15].

В начале мне хочется коротко обсудить характер взаимоотношений между говорящим и слушателями на подобных встречах. Они отличаются от того, что происходит на академических лекциях. Они похожи скорее на отношения дирижера и оркестра: способности слушателей ограничивают или расширяют власть говорящего. Нам очень повезло. У меня никогда прежде не было слушателей, среди которых так много музыкантов (это образное сравнение). Некоторые из вас – настоящие виртуозы, как явные, так и скрытые. Это наша совместная работа. Я хочу, чтобы сегодня, чуть позже, мы вышли в открытое море. До сих пор мы оставались у берега, едва замочили ноги, но сегодня я предлагаю нырнуть в глубину.

Перед этим я хотел бы представить вам одну концепцию, которую я разработал несколько лет назад, прочитав книгу философа Нортропа под названием «Встреча Востока и Запада» [1]. Он изложил там свои представления о характере восточного сознания – прежде всего, дальневосточного, но его рассуждения во многом справедливы и в отношении всего Востока. Он говорит о том, что обычное сознание представляет собой дифференцируемое эстетическое непрерывное пространство. Понятие «эстетический» не означает у него только красоту. Скорее, оно похоже на те соображения, которыми руководствовались при использовании этого термина Баумгартен [2] или Иммануил Кант, то есть означает упорядоченность чувственного сознания. Эта эстетичность представлена в плоском, двумерном искусстве Дальнего Востока. Помимо того, она проявляется в том, что мы называем номиналистической, фено-меналистической и позитивистской формой, которая так часто повторяется в буддийских сутрах и в направлении буддийской философии, именуемом философией Пустоты, или Шуньи. В ней видоизменения ощущаемого мира можно уподобить образам на поверхности мыльного пузыря; йога превращается в процесс ориентации в неопределимом эстетическом непрерывном пространстве – самом мыльном пузыре, который рассматривается отдельно от возникающих на его поверхности образов. Сначала сознание сталкивается с игрой образов, но путем Осознания рано или поздно начинает постигать то, что является не образом, а его основой.

Нортроп выделяет противоположный, западный гений, который развивается в измерении теоретического непрерывного пространства – в данном случае дифференцированного. Дифференцированное теоретическое непрерывное пространство является основой нашей науки. Примечательно, что математика Востока не идет ни в какое сравнение с ее развитием на Западе. Разумеется, мы заимствовали у Востока несколько важных принципов; в частности, из Индии к нам пришло понятие нуля -нечто чрезвычайно важное, хотя оно обозначает ничто. Знаменательно – и этого следовало ожидать, – что подобное понятие родилось у метафизического народа. И все же широкое развитие математической мысли в целом, которое стало основой всей западной науки, является заслугой гения Запада.

В качестве своего дополнения к этой мысли я предлагаю концепцию неопределенного теоретического непрерывного пространства как пути йоги – и это не перенос йоги на западную почву, а та форма йоги, которая исконно присуща человеку Запада. По моим представлениям, основная идея этой йоги была заложена Пифагором, так как его основной вклад в математику, возможно, стал и самым важным из когда-либо сделанных математических открытий – я говорю о принципе умозрительного доказательства. До него математические теоремы и утверждения опирались в основном на эмпирические доказательства. Из этого родилась монументальная структура, призвавшая к жизни невероятно могучую способность постижения. Я надеюсь, что сегодня вечером смогу немного познакомить вас с ней. Многие среди вас не имеют достаточной специальной подготовки. Вам будет трудновато, но, если вы почувствуете, что почва уходит из-под ног, просто откиньтесь на спинку стула и отдохните.