ПЯТАЯ АКСИОМА ЕВКЛИДА

Рис.10

Рис. 11

Следующим шагом стала попытка выдвинуть иные предположения. Лобачевский и Больяй [26] независимо друг от друга допустили, что через точку С, не лежащую на заданной прямой АВ, можно провести по меньшей мере две прямые, параллельные АВ. Это означает, что и прямая CD, и прямая СЕ могут не пересечь прямую АВ -нигде, кроме, быть может, бесконечности. Просто предположим, что это правильно. Быть может, мы так не думаем, но дело не в этом. Можно ли, пользуясь этой аксиомой, построить внутренне непротиворечивую геометрию? Да. И это было сделано. В геометрии Лобачевского многие, практически все, положения Евклида, опирающиеся на аксиому о параллельности, выглядят совершенно иначе. Например, все вы знакомы с утверждением о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам, но в геометрии Лобачевского эта сумма всегда превышает сто восемьдесят градусов.

Другой математик, Риман [27], примерно в те же годы допустил, что через точку С невозможно провести ни одной прямой, параллельной заданной, то есть любая из них непременно пересечет выбранную прямую АВ на конечном расстоянии от точки С. Это уточнение очень важно. В геометрии Римана движение по любой прямой в одном направлении непременно заставит вас вернуться к исходной точке с другой стороны. Быть может, это противоречит интуитивным представлениям, но в построении такой геометрии тоже нет логических ошибок. Она внутренне непротиворечива.

По мнению Рассела, в математике допустимы любые внутренне непротиворечивые концепции. Это значит, что геометрии Лобачевского и Римана имеют право на существование. Через полсотни лет после Римана родился Эйнштейн, который развил общую теорию относительности. Обнаружив, что его концепция мироздания соответствует Римановой геометрии, Эйнштейн сказал: «Как могло случиться, что заточенного в башне из слоновой кости математика посещают совершенно правильные мысли о строении внешней вселенной?» Это очень хороший вопрос. Такого чистого математика, как Риман, интересует прежде всего, так сказать, интеллектуальное упражнение. Это относится ко всем чистым математикам. Подобно богам, они не руководствуются исключительно чувством долга. Математик делает нечто только во имя удовольствия. Такой образ жизни ведут все вольные души, и математики показывают нам огромное число примеров такой свободы. У вольной души нет обязанностей. Она делает что-то совершенно спонтанно, однако такие непреднамеренные действия почти всегда приводят к блестящим результатам. Да, чистый математик запирается в башне из слоновой кости и мыслит только ради удовольствия. После этого кто-то из проходящих мимо берет его результаты и обнаруживает, что они предлагают власть над той или иной сферой природы. Однако это вызывает у чистого математика боль, так как милая его сердцу чистота оказывается запятнанной практическим применением.

Рассказывают, что один математик, у которого возникла совершенно непрактичная идея, воскликнул: «Слава Богу, что эта мысль не имеет никаких вообразимых сфер приложения». Разве это странно? Что почувствует художник, если напишет прекрасную картину, а потом некто отберет ее и начнет использовать для продажи «кока-колы»? Те же чувства охватывают и чистого математика. Не все мы слеплены по одному образцу. Вот простой факт: практически все математические творения были созданы чистыми математиками, запиравшимися в башнях из слоновой кости; к тому же всем нам известно, что любые попытки творить ради практической пользы делают творчество невозможным. Единственным исключением стала развитая Ньютоном теория производных, то есть дифференциального исчисления. Ньютона занимали концепции мироздания, а математика оставалась для него лишь инструментом. То же самое можно сказать и о значении математики для Винера [28], одного из главных теоретиков в области создания вычислительных машин в наши дни. Он был склонен заниматься не чистой, а прикладной математикой.

Поговорим об этом подробнее. Вот история о Рамануджане [29], величайшем восточном (индийском) математике моего времени, и об английском ученом Харди [30]. Оба были чистыми теоретиками. На одной из своих лекций Харди рассказывал о том, как нанял кэб и отправился навестить Рамануджана, когда тот гостил в Англии. Появившись, Харди сказал: «Я приехал на кэбе номер 1729 – очень скучное число». Его друг-индиец возразил: «Напротив, это очень интересное число. Это минимальное из всех чисел, которые можно двумя различными способами представить в виде суммы двух кубов». Попробуйте самостоятельно найти решения этой задачи [31].

Дело в том, что вольная душа не трудится, а играет. Действия такого человека представляют собой спонтанное проявление радости, но такой подход приводит к величайшим открытиям. Что касается расцвета формализма, который начался после развития неевклидовых геометрий, то этот подъем стал подлинной революцией в представлениях о природе математики. Была низвергнута сама идея аксиом, то есть убежденность в существовании неких несомненных истин, на основе которых выстраиваются логические рассуждения. Вместо аксиом у математиков осталось только то, что можно назвать «основополагающими исходными посылками». Впоследствии это привело к созданию самых разнообразных экзотических геометрий. В качестве примера используем такие основополагающие исходные посылки (те, кому известны аксиомы Евклида, могут их не узнать):

Аксиома 1. Если а и b – различные элементы множества S, то существует по меньшей мере один класс L, одновременно содержащий в себе и а и b.

Аксиома 2. Если a и b – различные элементы множества S, то существует не более одного класса L, одновременно содержащего в себе и а и b.

Аксиома 3. Любые два класса L имеют по меньшей мере один общий элемент из множества S.

Аксиома 4. В множестве S существует по меньшей мере один класс L.

Аксиома 5. Любой класс L содержит по меньшей мере три элемента множества S.

Аксиома 6. Все элементы множества S не могут одновременно принадлежать одному классу L.

Аксиома 7. Ни один класс L не содержит более трех элементов множества S.

Обратимся к практическим приложениям этой геометрии. Предположим, существует некая банковская фирма, у которой есть семь совладельцев. Чтобы обеспечить правильное обращение с информацией, относящейся к вопросам ценных бумаг, совладельцы решили образовать семь комиссий, каждая из которых будет связана с определенной областью. Кроме того, партнеры договорились, что каждый из них должен стать председателем какой-либо комиссии и членом трех – ровно трех – комитетов в целом. Запишем названия комиссий и списки их членов; председателем подразделения является тот совладелец, чье имя указано первым:

Внутренние железные дороги: Адаме, Браун, Смит. Муниципальные долговые обязательства: Браун, Мерфи, Эллис.

Федеральные долговые обязательства: Мерфи, Смит, Джонс. Южноамериканские ценные бумаги: Смит, Эллис, Гордон. Национальная черная металлургия: Эллис, Джонс, Адаме. Континентальные ценные бумаги: Джонс, Гордон, Браун. Акции коммунальных предприятий: Гордон, Адаме, Мерфи.

Бесплотный дух Евклида! Вот чем становится современная геометрия! Этот список полностью соответствует нашим аксиомам. В прошлом слово «геометрия» обозначало землемерные работы, но теперь это понятие потеряло прежний смысл. Сейчас формалисты утверждают, что математика – это игра с формальными сущностями; подобно шахматам, она не несет никакого содержания, и все же люди играют в нее очень серьезно.