Европейцы эпохи Возрождения, унаследовавшие математику греков, индийцев и арабов, поначалу с недоверием отнеслись к этим чужеродным элементам. Но вскоре потребности естествознания возобладали над осторожностью — европейцы поступились заботами о логической обоснованности математики.
Расширяя математику чисел, индийцы, арабы, а позднее европейцы возводили этаж за этажом: так появились комплексные числа, новые разделы алгебры, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, дифференциальная геометрия и т.д. Однако вместо «стали» древнегреческих мыслителей европейцы использовали «деревянные колонны и балки» — смесь интуитивных рассуждений и физических построений. Но деревянные опоры не выдержали нагрузки — в стенах величественного здания математики стали появляться трещины. К началу XIX в. здание математики снова оказалось в аварийном состоянии, и математики в спешном порядке принялись заменять дерево сталью.
Пока укрепляли верхние этажи, выяснялось, что в казавшемся столь твердом грунте (выбранных греками аксиомах), на котором покоилась вся постройка, имеются не замеченные ранее дыры. Создание неевклидовой геометрии показало, что аксиомы евклидовой геометрии не были, как считалось прежде, полосками прочного грунта, а лишь казались таковыми. Не могли служить прочной основой и аксиомы неевклидовой геометрии. То, что математики принимали за абсолютную реальность, уповая на способность своего разума познавать и безошибочно анализировать природу, на поверку оказалось ненадежными данными чувственного опыта. Но беда никогда не приходит одна: создание новых алгебр заставило математиков осознать, что и казавшиеся столь надежными свойства чисел имеют в действительности не более прочное основание, чем геометрия. Так над всем зданием математики — над геометрией и арифметикой с их продолжениями в алгебру и анализ — нависла смертельная угроза. Поднявшееся уже высоко здание могло в любой момент рухнуть или провалиться в трясину.
Чтобы спасти здание от разрушения, необходимы были экстренные меры — и математики приняли вызов. Они наконец поняли, что прочного грунта, на котором можно было бы возвести фундамент здания математики, не существует. То, что кажется прочным, в действительности обманчиво и зыбко. Но, быть может, здание математики удастся возвести на прочном основании иного рода? В качестве такого основания математики решили выбрать четко сформулированные определения, полные перечни используемых аксиом и явное доказательство всех результатов, сколь бы очевидными они ни выглядели интуитивно. Кроме того, вместо поиска истины математики устремились теперь на поиск логической непротиворечивости. Доказываемые теоремы должны быть строго взаимосвязаны, придавая зданию математики желанную прочность (гл. VII). Движение за аксиоматизацию, развернувшееся в конце XIX в., позволило придать прочность зданию математики. Так, несмотря на то что математика как будто бы утратила опору в реальности, очередной кризис в истории математики удалось преодолеть.
К сожалению, цемент, скрепляющий фундамент нового здания, не затвердевал. Строители не могли гарантировать непротиворечивость, и, когда возникли противоречия в теории множеств, математики поняли, что над их творением нависла еще более серьезная угроза. Разумеется, они не собирались безучастно наблюдать, как обращаются в прах плоды многовековых усилий. Непротиворечивость зависит от того, что положено в основу рассуждений. Следовательно, спасти положение может лишь полная перестройка оснований математики. Необходимо было укрепить сам фундамент реконструируемой математики — ее логические и математические аксиомы, и строители решили копать еще глубже. К сожалению, они так и не смогли прийти к единому мнению относительно того, где и как надлежит укреплять основания, и каждый, считая, что именно ему суждено обеспечить надлежащую прочность здания математики, приступал к перестройке так, как считал нужным. Построенное совместными усилиями здание не отличалось ни изяществом пропорций, ни особой устойчивостью. Оно расползалось во все стороны и было весьма шатким. Каждое крыло здания претендовало на роль единственно истинного храма математики, где хранятся жемчужины математической мысли.
Вероятно, всем известна притча о семи слепцах и слоне. Наткнувшись на слона, слепцы принялись ощупывать его и спорить, на что он похож. Тот, кто ощупывал хвост, заявил, что слон похож на веревку; его товарищ по несчастью, ощупывавший ногу слона, сравнил слона с колонной; третий слепец, ощупывавший хобот, утверждал, что слон подобен змее и т.д. Слепцы не могли прийти к согласию, так как все они представляли себе слона по-разному. Хотя математика по своей структуре, возможно, намного изящнее слона, тем, кто занимается основаниями математики и рассматривает ее с различных точек зрения, так же трудно согласовать свои позиции, как и несчастным слепцам.
Математика достигла ныне той стадии развития, когда вопрос о том, что, собственно, надлежит считать математикой — логицизм, интуиционизм, формализм или теорию множеств, — вызывает, ожесточенные споры. Каждое течение в основаниях математики обладает тонкой структурой: разделяется на отдельные русла, состоящие в свою очередь из множества протоков. Так, интуиционисты не сходятся между собой во мнениях относительно того, что следует считать фундаментальными, интуитивно воспринимаемыми понятиями: только целые или также и некоторые иррациональные числа, закон исключенного третьего, распространяемый только на конечные или и на счетные множества, по-разному трактуемые конструктивные методы. Логицисты полагаются только на логику, но и они не избавлены от сомнений по поводу аксиом сводимости, выбора и бесконечности. Представители теоретико-множественного течения могут двигаться в любом из нескольких различных направлений в зависимости от того, принимают они аксиому выбора и гипотезу континуума или отвергают одну из этих аксиом (ибо гипотеза континуума также имеет ныне статус аксиомы!) или даже отказываются от них обеих. Даже формалисты могут выбирать путь по своему усмотрению. Выбор принципов математики для доказательства непротиворечивости не вполне однозначен. Финитистских принципов, отстаиваемых Гильбертом, оказалось недостаточно даже для доказательства исчисления предикатов (первой ступени), не говоря уже об установлении непротиворечивости формальных математических систем Гильберта. Формалистам не оставалось ничего другого, как воспользоваться нефинитистскими методами (гл. XII). Кроме того, как показал Гёдель, в рамках наложенных Гильбертом ограничений любая достаточно мощная формальная система содержит неразрешимые утверждения, т.е. утверждения, которые, базируясь на аксиомах нельзя ни доказать, ни опровергнуть; но это значит, что подобные утверждения (или их отрицания) можно принять в качестве дополнительных аксиом. Однако и после присоединения новой аксиомы расширенная система, согласно теореме Гёделя, все еще должна содержать неразрешимые утверждения. Приняв их за новые дополнительные аксиомы, мы могли бы вторично расширить формальную систему и т.д. Процесс последовательного расширения исходной формальной системы можно было бы продолжать бесконечно.
Логицисты, формалисты и представители теоретико-множественного направления полагаются на аксиоматические основания. В первые десятилетия XX в. именно аксиоматика превозносилась как наиболее подходящий фундамент для построения математики. Но теорема Гёделя утверждает, что ни одна система аксиом не охватывает всех истин, содержащихся в любой математической структуре, а теорема Левенгейма — Сколема показывает, что каждая система аксиом включает больше, чем предполагалось. Только интуиционисты могут позволить себе безразличие к проблемам, возникшим в связи с аксиоматическим подходом.
В довершение всех разногласий и неясностей по поводу того, какие основания математики считать наилучшими, над головами математиков, подобно дамоклову мечу, висит нерешенная проблема доказательства непротиворечивости всей математики. Какую бы философию ни исповедовал тот или иной математик, в своей работе он рискует натолкнуться на противоречие.
