Победителем оказался швейцарский математик Симон Люилье. В том же 1876 г. Берлинская академия опубликовала его «Элементарное изложение высшего анализа». Несомненно, решение, принятое математическим отделением Академии, по существу было правильным. Ни в одной из других работ (за исключением работы, представленной Карно; см. гл. VII) даже не делалось попытки объяснить, каким образом в математическом анализе исходя из ложных посылок удается вывести так много правильных теорем. Люилье, несомненно, заслуживал награды, хотя основная идея его работы была далеко не оригинальна. По словам самого Люилье, его работа представляла «развитие идей… бегло намеченных Д'Аламбером и как бы изложенных в его статье «Дифференциал», опубликованной в «Энциклопедии», и в его сочинении «Разное». Во вводной главе своего сочинения Люилье излагает слегка усовершенствованный вариант теории пределов. Впервые в печатном тексте он ввел для обозначения предела символ lim. Производную dP/dx(ранее встречавшуюся как отношение k/h) Люилье обозначал lim ΔP/Δx, но вклад самого Люилье в теорию пределов был крайне незначительным.

Хотя почти каждый математик XVIII в. предпринимал попытку обосновать математический анализ или по крайней мере высказывал свое мнение по поводу столь важной проблемы, а два-три математика были на верном пути, все усилия оказались тщетными. Математики XVIII в. либо умышленно обходили все сколько-нибудь важные и тонкие проблемы, либо просто не замечали их. Различие между очень большим числом и бесконечно большой величиной они ощущали с трудом. Математикам XVIII в. казалось очевидным, что теорема, которая выполняется при любом конечном n,должна выполняться и при бесконечном n.Разностное отношение k/h[см. выражение (3)] они охотно заменяли производной, а сумму членов вида (7)с трудом отличали от интеграла. Переход от конечного к бесконечному как в одну, так и в другую сторону совершался ими необыкновенно легко и просто. Суть математики XVIII в., пожалуй, наиболее точно выразил Вольтер, охарактеризовавший [математический] анализ как «искусство считать и точно измерять то, существование чего непостижимо для разума». Предпринимавшиеся на протяжении века попытки строгого обоснования анализа, в особенности попытки, предпринятые такими гигантами науки, как Эйлер и Лагранж, лишь окончательно запутали и завели в тупик как их современников, так и математиков последующих поколений. В целом подобные попытки оказались безнадежно ошибочными — от них можно было бы прийти в отчаяние и усомниться в том, что математикам вообще когда-нибудь удастся разрешить проблему обоснования анализа.

Математики верили в символы больше, чем в логику. Поскольку бесконечный ряд имеет один и тот же вид при всех значениях x,различие между значениями x,при которых ряд сходится, и теми значениями, при которых он расходится, не привлекало должного внимания. И хотя было известно, что некоторые ряды, например 1 + 2 + 3 + …, имеют бесконечную сумму, математики предпочитали пытаться придать какой-то смысл бесконечной сумме, чем усомниться в применимости суммирования. Было бы неверно утверждать, что математики XVIII в. не ощущали необходимости доказательства некоторых утверждений. Мы видели, что Эйлер пытался обосновать использование расходящихся рядов. Более того, Эйлер, Лагранж и многие другие математики пытались обосновать математический анализ. Но немногочисленные попытки достичь желаемой строгости (ценные тем, что они показали, как изменяются со временем критерии математической строгости) не увенчались успехом. Математический анализ, созданный трудом многих людей на протяжении почти столетия, по-прежнему оставался под сомнением. И математики, можно сказать, сознательно прибегли к житейской мудрости: если анализ нельзя излечить, необходимо хотя бы продлить ему жизнь. В своих рассуждениях мыслители XVIII в. нередко обращались к термину «метафизика». Под ним понимали совокупность истин, лежащих за пределами собственно математики. В случае необходимости эти истины могли быть использованы для обоснования того или иного математического утверждения, хотя природа метафизических истин оставалась неясной. Обращение к метафизике означало использование аргументов, которые не подкреплялись разумом. Так, Лейбниц утверждал, что метафизика используется в математике шире, чем можно себе представить. Единственным «обоснованием» равенства ¹/ ₂= 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − … и принципа непрерывности было утверждение Лейбница о том, что оба утверждения «обоснованы» метафизически. Предмет спора исчезал, коль скоро появлялось метафизическое «обоснование». Эйлер также обращался к метафизике и доказывал, что метафизические аргументы должны приниматься в анализе на веру. Всякий раз, когда математики XVII-XVIII вв. не находили подобающего аргумента в подтверждение того или иного утверждения, они говорили, что это утверждение верно по метафизическим причинам.

Итак, XVIII в. закончился, оставив обоснование дифференциального и интегрального исчисления и высших разделов математического анализа в крайне неудовлетворительном состоянии. Без преувеличения можно было сказать, что к началу XIX в. ситуация с обоснованием математического анализа выглядела гораздо хуже, чем в канун XVIII в. Гиганты науки, главным образом Эйлер и Лагранж, дали неверные обоснования анализа. А поскольку их авторитет был чрезвычайно велик, многие из их коллег воспринимали и некритически повторяли все, что делали корифеи, и даже пытались строить новые теории на возведенных теми ложных основаниях. Другие, менее доверчивые, не были удовлетворены тем, что предлагали Эйлер и Лагранж, но надеялись достичь полного обоснования путем незначительных поправок и дополнений. Нужно ли говорить, что и они стояли на неверном пути.

К началу XIX в. математика оказалась в весьма парадоксальной ситуации. Ее успехи в описании и предсказании физических явлений превзошли самые смелые ожидания. Но при этом многие математики еще в XVIII в. отмечали, что все огромное здание математической науки было лишено логического фундамента и держалось на столь шатких основаниях, что не было уверенности в «правильности» этой науки. Подобная ситуация сохранялась и в течение всей первой половины XIX в. Многие математики с головой ушли в новые области физики и добились там значительных успехов, а об основаниях математики никто попросту не задумывался. Естественно, что критика по поводу учения об отрицательных и комплексных числах, а также в адрес алгебры, дифференциального и интегрального исчисления и других разделов стремительно развивавшегося математического анализа не утихала.

С какими же трудностями столкнулась математика в начале XIX в.? Вряд ли необходимо останавливаться на возражениях, которые продолжали выдвигаться против использования иррациональных чисел: ведь, как мы уже отмечали, иррациональные числа можно представлять как точки на прямой — и потому на чисто интуитивном уровне их принятие вряд ли было сопряжено с большими трудностями, чем использование целых и дробных чисел; польза же от введения иррациональных чисел была несомненна. В результате иррациональные числа, не имевшие сколько-нибудь серьезного научного обоснования, были приняты без особых возражений. Однако отрицательные и комплексные числа по-прежнему доставляли немало беспокойства, так как интуитивно казались неприемлемыми. В XIX в., как и в предыдущие столетия, многие их все еще просто отвергали или довольно злобно критиковали их использование.

Уильям Френд (1757-1841), тесть Огастеса де Моргана и член совета колледжа Иисуса Кембриджского университета, в предисловии к своей книге «Начала алгебры» (1796) заявлял без обиняков: