Помимо различного рода изъянов и недостатков в определениях и аксиомах «Начала» Евклида содержали также много неадекватных доказательств. Доказательства одних теорем были ошибочными; доказательства других охватывали лишь частный случай утверждения теоремы или конфигурации, о которой в ней говорилось. Такого рода недостатки не столь серьезны, так как их легче исправить. Евклид умышленно проводил правильные доказательства для фигур, весьма отдаленно напоминающих изображаемые. Но если судить о «Началах» в целом, то с полным основанием можно сказать, что в ряде случаев доказательства Евклида, касающиеся легко воспроизводимых на чертежах фигур, имели дефекты. Короче говоря, логика в «Началах» Евклида оставляла желать лучшего.

Несмотря на все недостатки евклидовых «Начал», лучшие математики, естествоиспытатели и философы примерно до конца XVIII в. видели в них идеал математической строгости. Паскаль в своих «Мыслях» выразил это всеобщее восхищение так: «Геометрический дух во всем превосходит те предметы, которые поддаются законченному анализу. Он начинает с аксиом и выводит заключения, истинность которых может быть доказана с помощью универсальных логических правил». Учитель и предшественник Ньютона по кафедре в Кембриджском университете Исаак Барроу перечислил восемь причин непогрешимости геометрии: ясность геометрических понятий; однозначность определений; наша интуитивная уверенность в универсальной истинности общих геометрических понятий; правдоподобность и наглядность геометрических постулатов; малочисленность геометрических аксиом; ясное понимание способа получения всех величин; четкая последовательность доказательств; отказ от использования всего неизвестного. Такого рода признания достоинств геометрии можно было бы продолжить. В 1873 г. известный специалист по теории чисел Генри Джон Стивен Смит сказал: «Геометрия обратилась бы в ничто, если бы не ее строгость… Почти всеми признано, что методы Евклида безупречны с точки зрения строгости».

Тем не менее, работая над созданием неевклидовой геометрии, математики обнаружили в евклидовой схеме построения геометрии столь большое число дефектов, что восхищаться ее совершенством было уже невозможно. Неевклидова геометрия стала тем рифом, о который разбилась геометрия Евклида. То, что ранее казалось надежной твердью, в действительности оказалось предательской топью.

Разумеется, евклидова геометрия составляет лишь часть математики. С начала XVIII в. гораздо более обширной стала часть математики, посвященная свойствам чисел. Но как же развивалось логическое понятие числа?

В Древнем Египте и Вавилоне уже были хорошо знакомы с целыми числами, дробями и даже с такими иррациональными числами, как √2 или √3. Для практических приложений иррациональные числа аппроксимировали рациональными. Но поскольку математика в Древнем Египте, Вавилоне и даже вплоть до IV в. до н.э. в Древней Греции строилась на интуитивной или эмпирической основе, как восхищение ее логической структурой, так и ее критика были в равной степени беспредметны.

Первое известное нам логически последовательное изложение теории целых чисел содержится в VII, VIII и IX книгах «Начал» Евклида. В них Евклид предлагает, например, такие определения: «Единицаесть [то], через что каждое из существующих считается единым; числоже — множество, составленное из единиц» ([25], кн. VII-X, с. 9). Ясно, что подобные определения мало что говорят — в их формулировках отражается тот факт, что как в арифметике Евклида, так и в его геометрии проявляется непонимание необходимости неопределяемых понятий. При выводе свойств целых чисел Евклид использует уже упоминавшиеся общие понятия. К сожалению, некоторые из приведенных им доказательств ошибочны. Тем не менее древние греки и их преемники считали, что теория целых чисел обоснована вполне удовлетворительно. Более того, они, не церемонясь, позволяли себе говорить об отношениях целых чисел (у последующих поколений математиков такие отношения получили название дробей), хотя отношения целых чисел не были ими никак определены.

В логическом развитии теории чисел древние греки столкнулись с трудностью, оказавшейся для них непреодолимой. Как известно, пифагорейцы в V в. до н.э. первыми подчеркнули важность целых чисел и отношений целых чисел для изучения природы. Более того, именно в целых числах и их отношениях пифагорейцы видели «меру» всего. Когда же обнаружилось, что некоторые отношения, например отношение гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника к катету, непредставимы в виде отношения целых чисел, это и удивило, и обеспокоило пифагорейцов. Отношения, представимые в виде отношений целых чисел, пифагорейцы назвали соизмеримыми,а отношения, непредставимые в виде отношений целых чисел, получили название несоизмеримых.Так, иррациональное число √2 может служить примером несоизмеримого отношения. Открытие несоизмеримых соотношений легенда приписывает Гиппазию из Метапонта (V в. до н.э.). По преданию, в тот момент, когда Гиппазий пришел к этому открытию, пифагорейцы находились в открытом море — и они выбросили Гиппазия за борт, обвинив его в том, что он привнес в мироздание элемент, противоречивший пифагорейскому учению о сводимости всех явлений природы к целым числам или к их отношениям.

Доказательство того, что число √2 несоизмеримо с 1, т.е. иррационально, было предложено пифагорейцами. По Аристотелю, они доказали иррациональность √2 методом от противного (reductio ad absurdum),иначе говоря, избрали косвенный метод доказательства. Пифагорейцы показали, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника была бы соизмерима с катетом, то одно и то же число должно было бы быть и четным, и нечетным, что невозможно. Доказательство проводилось следующим образом. Предположим, говорили пифагорейцы, что отношение гипотенузы к катету представимо в виде a/b,где aи b— взаимно-простые целые числа (т.е. предполагается, что общие множители, которые первоначально могли входить в числа aи b,уже сокращены). Если a/b = √2,то a ²= 2b ². Так как a ²— четное число,  aтакже четно, поскольку квадрат любого нечетного числа нечетен. {62}Так как числитель и знаменатель отношения a/bне имеют общих делителей и  aчетно, число  bдолжно быть нечетно. Число  aкак четное представимо в виде  a = 2c,поэтому a ²= 4c ²,а так как а ²= 2b ²,то 4c ²= 2b ²,или   2c ²= b ².Следовательно, b ²— четное число. Но тогда  bтакже четное число, поскольку если бы оно было нечетным, то и квадрат его был бы нечетным. Но по доказанному ранее b— нечетное число; таким образом, мы приходим к противоречию.

Пифагорейцы и древнегреческие мыслители классического периода, как правило, не принимали иррациональных чисел, ибо в их понимании иррациональные числа не были числами. Действительно, предложенное пифагорейцами доказательство говорит, что число √2 непредставимо в виде отношения целых чисел, но умалчивает о том, что такое иррациональное число. Жители Древнего Вавилона, как уже отмечалось, умели работать с иррациональными числами, но они, безусловно, не знали, что используемые ими десятичные (точнее, шестидесятеричные) приближения таких чисел не могут быть абсолютно точными. Мы можем восхищаться жизнелюбием древних вавилонян, но математиками они были неважными. Совсем иной склад ума был у древних греков: они не могли довольствоваться приближениями.

Открытие иррациональных чисел поставило проблему, ставшую центральной для древнегреческой математики. Платон в своих «Законах» призывал к познанию несоизмеримых величин. Решение проблемы предложил Евдокс, некогда бывший учеником Платона: понятие величины надлежит трактовать геометрически. Длины, углы, площади и объемы, величины которых — если их выразить численно — могли оказаться иррациональными, следовало представлять геометрически. Именно так формулирует Евклид теорему Пифагора: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов, построенных на обоих катетах. Под суммой квадратов Евклид понимает, что суммарная площадь фигуры, составленной из двух квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Обращение за помощью к геометрии здесь вполне понятно. Если числа 1 и √2 рассматривать как длины, т.е. как отрезки прямых, то принципиальное различие между 1 и √2 сглаживается и почти перестает быть заметным.